算法導論 — 思考題4-2 參數傳遞代價

（參數傳遞代價）我們有一個貫穿本書的假設——過程調用中的參數傳遞花費常量時間，即使傳遞一個$N$個元素的數組也是如此。在大多數系統中，這個假設是成立的，因爲傳遞的是指向數組的指針，而非數組本身。本題討論三種參數傳遞策略：
　　1. 數組通過指針來傳遞。時間 = $Θ(1)$。
　　2. 數組通過元素複製來傳遞。時間 = $Θ(N)$，其中$N$是數組的規模。
　　3. 傳遞數組時，只複製過程可能訪問的子區域。若子數組$A[p..q]$被傳遞，則時間 = $Θ(q−p+1)$。
　　a. 考慮在有序數組中查找元素的遞歸二分查找算法（參見練習2.3-5）。分別給出上述三種參數傳遞策略下，二分查找最壞情況運行時間的遞歸式，並給出遞歸式解的好的上界。令N爲原問題的規模，n爲子問題的規模。
　　b. 對2.3.1節的MERGE-SORT算法重做(a)。
　　
　　解
　　a. 二分查找
　　如果忽略參數傳遞時間，二分查找的運行時間的遞歸式爲$T(n) = T(n/2) + Θ(1)$。
　　(1) 數組通過指針來傳遞
　　最壞情況運行時間遞時式爲$T(n) = T(n/2) + Θ(1) + Θ(1) = T(n/2) + Θ(1)$，求解該遞歸式得到$T(n) = O({\rm lg}n)$。
　　(2) 數組通過元素複製來傳遞
　　最壞情況運行時間遞時式爲$T(n) = T(n/2) + Θ(1) + Θ(N) = T(n/2) + Θ(N)$，其中$N$爲原數組規模，求解該遞歸式得到$T(n) = O(n{\rm lg}n)$。
　　(3) 數組通過只複製子問題要訪問的區域來傳遞
　　最壞情況運行時間遞時式爲$T(n) = T(n/2) + Θ(1) + Θ(n) = T(n/2) + Θ(n)$，用主方法求解該遞歸式得到$T(n) = O(n)$。
　　b. MERGE-SORT
　　如果忽略參數傳遞時間，MERGE-SORT的運行時間的遞歸式爲$T(n) = 2T(n/2) + Θ(n)$。
　　(1) 數組通過指針來傳遞
　　最壞情況運行時間遞時式爲$T(n) = 2T(n/2) + Θ(n) + Θ(1) = 2T(n/2) + Θ(n)$，求解該遞歸式得到$T(n) = O(n{\rm lg}n)$。
　　(2) 數組通過元素複製來傳遞
　　最壞情況運行時間遞時式爲$T(n) = 2T(n/2) + Θ(n) + Θ(N) = 2T(n/2) + Θ(N)$，其中$N$爲原數組規模，求解該遞歸式得到$T(n) = O(n^2)$。
　　(3) 數組通過只複製子問題要訪問的區域來傳遞
　　最壞情況運行時間遞時式爲$T(n) = T(n/2) + Θ(n) + Θ(n) = 2T(n/2) + Θ(n)$，求解該遞歸式得到$T(n) = O(n{\rm lg}n)$。