算法導論 — 思考題8-4 水壺

（水壺）假設給了你$n$個紅色的水壺和$n$個藍色的水壺。它們的形狀和尺寸都各不相同。所有紅色水壺的容量都不一樣多，藍色水壺也是如此。而且，對於每一個紅色水壺來說，都有一個對應的藍色水壺，兩者容量相等；反之亦然。
　　你的任務是找出所有的容量相等的紅色水壺和藍色水壺，並將它們配成一對。爲此，可以執行如下操作：挑出一對水壺，其中一個是紅色的，另一個是藍色的，將紅色水壺中倒滿水，再將水倒入藍色水壺中。通過這一操作，可以判斷出這個紅色水壺的容量是否比藍色水壺的容量更多，或是兩者一樣多的。假設這樣的比較需要花費一個單位時間。你的目標是找出一個算法，它能夠用最少的比較次數來確定所有水壺的配對。注意，你不能直接比較兩個紅色或兩個藍色的水壺。
　　a. 設計一個確定性算法，它能夠用$Θ(n^2)$次比較來完成所有水壺的配對。
　　b. 證明：解決該問題算法的比較次數下界爲$Ω(n{\rm lg}n)$。
　　c. 設計一個隨機算法，其期望的比較次數爲$O(n{\rm lg}n)$，並證明這個界是正確的。對你的算法來說，最壞情況下的比較次數是多少？
　　
　　解
　　a.
　　依次選取紅色水壺，將當前的紅色水壺與所有的藍色水壺進行比較，從中挑出與當前紅色水壺容量一樣的藍色水壺。下面給出該算法的僞代碼。
　　
　　顯然，輸出數組$M$是$<1, 2, …, n>$的一個排列。$M[i]$表示第$i$個紅色水壺與第幾個藍色水壺配對。從僞代碼可以看出，$M[i]$也表示第$i$個紅色水壺參與比較的次數，因爲第$M[i]$個藍色水壺是與第$i$個紅色水壺比較的最後一個藍色水壺。因此，總的比較次數爲
　　　　$\sum_{i=1}^{n}{M[i]} = \sum_{i=1}^{n}{i} = \frac{n(n+1)}{2}$
　　因此，這一算法需要進行$Θ(n^2)$次比較。
　　
　　b.
　　用決策樹模型來證明。考慮一個簡單的例子，$3$個紅色水壺爲$<a, b, c>$，$3$個藍色水壺爲$<d, e, f>$，決策樹如下所示。
　　
　　在決策樹中，每個葉結點都是可能的配對情況，每個非葉結點表示一次比較。如果紅藍水壺各有$n$個，那麼根據排列組合原理，可能的配對情況一共有$n!$種，也就是說決策樹一共有$n!$個葉結點。假設該決策樹的高度爲$h$，那麼它最多包含$2^h$個葉結點。於是有
　　　　$n!≤2^h$
　　對該不等式兩邊取對數，得到$h≥{\rm lg}(n!)=Ω(n{\rm lg}n)$。所以，解決水壺配對問題的算法的比較次數的下界爲$Ω(n{\rm lg}n)$。
　　
　　c.
　　按照題目意思，每一個紅色水壺都有一個藍色水壺與之容量相等。比較簡單的一個想法是，將所有紅色水壺按照容量由小到大進行排序，再將所有藍色水壺按照容量由小到大進行排序，排序後處於相同位置的紅色水壺和藍色水壺一定是容量相等的。排序可以採用隨機化的快速排序，期望時間複雜度爲$O(n{\rm lg}n)$。然而，這個想法違反了題目要求。因爲題目只允許紅色水壺與藍色水壺進行比較，而不允許相同顏色的水壺進行比較。
　　爲了滿足題目要求，可以考慮對快速排序做出修改，詳見下面的僞代碼${\rm BOTTLE-MATCH-2}$。每次調用${\rm BOTTLE-MATCH-2}$，從紅色水壺$R$中隨機選出一個$r$，將$r$與所有藍色水壺$B$比較，從而將藍色水壺分爲$3$類：容量小於$r$的藍色水壺$B_{less}$，容量大於$r$的藍色水壺$B_{more}$，容量等於$r$的藍色水壺$b$。類似地，用藍色水壺$b$將紅色水壺也分爲$3$類：容量小於$b$的藍色水壺$R_{less}$，容量大於$b$的藍色水壺$R_{more}$，容量等於$b$的藍色水壺$r$。紅色水壺$r$與藍色水壺$b$的容量相等，二者配成一對。再遞歸的調用${\rm BOTTLE-MATCH-2}(R_{less}, B_{less})$和${\rm BOTTLE-MATCH-2}(R_{more}, B_{more})$。
　　
　　該算法實際上是對兩個數組進行快速排序，根據第7章對快速排序的分析，期望的比較次數爲$O(n{\rm lg}n)$。在最壞情況下，比較次數爲$O(n^2)$。