歐拉篩法與積性函數

線性篩

歐拉篩本質上是在對每一個數找到它最小的質因數，然後把它篩除，複雜度 O(n) 。
本文中所有的 p 都表示一個質數。

PROOF：
From the code below we have that pj∣a .
Let n=apk (k>j，pk>pj) .
∵pj∣a ，記 a=bpj .
∴n=(bpj)pk=pj(bpk) .
∴pj∣n (pk>pj，bpk>pj)
Q.E.D.

#include <cstdio>
#define R register
const int MaxN = 1000000
bool vis[MaxN];
int P[MaxN], tot;
int main()
{
    for(R int i = 2; i <= MaxN; i++)
    {
        if(!vis[i]) P[++tot] = i, phi[i] = P[tot] - 1;
        for(R int j = 1; j <= tot && P[j] * i <= MaxN; j++)
        {
            vis[i * P[j]] = 1;
            if(i % P[j] == 0) break;
        }
    }
    return 0;
}

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歐拉函數 φ

1...n 中與 n 互質的整數個數。
歐拉函數：

φ(n)=n∏p∣n(1−1p)

Euler Theorem：aφ(n)≡1(mod n) , if (a,n)=1 .

Theorem 1：∑d∣nφ(d)=n .

PROOF
Let n=pc11pc22...pcmm .
∴∑d∣nφ(d)=∑d∣nφ(pk11pk22...pkmm),(0≤ki≤ci) .
∵φ(pciipcjj)=φ(pcii)φ(pcjj) .
∴∑d∣nφ(d)=∑d∣nφ(pk11)φ(pk22)...φ(pkmm)=∏mi=1∑cik=0φ(pki) .
∵φ(n)=n∏p∣n(1−1p) .
∴∑d∣nφ(d)=∏mi=1∑cik=0pk−1i(pi−1) .
∴∑d∣nφ(d)=∏mi=1[(pi−1)(p0+p1+...+pci)+1]=∏mi=1pcii=n .
Q.E.D.

歐拉篩解決歐拉函數，O(n) 。
由前文可知，歐拉篩可以讓我們快速的找出每一個數的最小質因數。
由於歐拉函數是積性函數，所以我們只需要求出 φ(pk) ，即有 φ(n)=φ(n)φ(npk)

PROOF：
∵φ(n)=n∏p∣n(1−1p) .
∴φ(pk)=(p−1)pk .
Let n=apj ，while pj is the minimun prime factor of n .
We conclude that

φ(n)=⎧⎩⎨⎪⎪φ(a)×(pj−1) , pj∤a,φ(a)×pj , pj∣a,pj−1 , n is a prime.

Q.E.D.

#include <cstdio>
#define R register
bool vis[1000010];
int P[1000010], tot, phi[1000010];
int main()
{
    for(R int i = 2; i <= 1000000; i++)
    {
        if(!vis[i]) P[++tot] = i, phi[i] = P[tot] - 1;
        for(R int j = 1; j <= tot && P[j] * i <= 1000000; j++)
        {
            vis[i * P[j]] = 1;
            if(i % P[j] == 0) 
            {
                phi[i * P[j]] = phi[i] * P[j];
                break;
            }
            else phi[i * P[j]] = phi[i] * (P[j] - 1);
        }
    }
    return 0;
}

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莫比烏斯反演 μ

歐拉篩解決莫比烏斯函數，O(n) 。
莫比烏斯函數：

μ(n)=⎧⎩⎨⎪⎪1 , n=1(−1)k , n=p1p2...pk0 , others

莫比烏斯函數可以用於解決形如：

g(n)=∑d∣nf(d)

f(n)=∑d|nμ(d)g(nd)

同理，莫比烏斯函數也是一個積性函數，所以我們只需快速地求出 μ(pk) 即可。

PROOF：
From the defination of Möbius inversion formula we have that iff k=1 ，μ(pk)=−1 ，otherwise k=0 .
We conclude that

μ(n)=⎧⎩⎨⎪⎪−μ(a) , pj∤a,0 , pj∣a,−1 , n is a prime.

Q.E.D.

#include <cstdio>
#define R register
bool vis[1000010];
int P[1000010], tot, mu[1000010];
int main()
{
    mu[1] = 1;
    for(R int i = 2; i <= 1000000; i++)
    {
        if(!vis[i]) P[++tot] = i, mu[i] = -1;
        for(R int j = 1; j <= tot && P[j] * i <= 1000000; j++)
        {
            vis[i * P[j]] = 1;
            if(i % P[j] == 0) 
            {
                mu[i * P[j]] = 0;
                break;
            }
            else mu[i * P[j]] = -mu[i];
        }
    }
    return 0;
}

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參考文獻：
1.賈志鵬，《線性篩法與積性函數》。