6718. 【2020.06.12省选模拟】T1 Number

题目

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正解

随便生成函数，显然答案为$(\prod (1+x^{t_i}))^m$
外面的这个乘方可以直接快速幂，时间复杂度$O(e\lg e \lg m)$。
重点是如何计算里面的这个东西。

由于$\sum t_i\leq2e7$，所以不同的$ti$的个数大概是$\sqrt {\sum t_i}$，约等于$6000$。
将$t_i$相同的一起计算，用个组合数就可以做到$O(个数)$处理，然后花$O(\sqrt {\sum t_i}e\lg e)$的时间来将$t_i$不同的合并起来。
然而常数太大TLE了……
这时候可以想到当个数比较少的时候，直接暴力做。
定义一个阈值，理论上这个阈值设$\lg e$最优，实际上这只有85分。
跑个大数据，然后手动三分一下阈值，发现当这个阈值设为$1000$的时候跑得最快。
于是就过了……

当然上面那样做是水法。
正解是一个见过一次就可能不会忘的小科技。
考虑这题本质上就是做一个长度为$e$的循环卷积。题目给出的$x$显然就是$e$次单位根（$x^e\equiv \pmod p$）。
如果我们求出了长度为$e$的$DFT$，在这个$DFT$上操作一波之后再$IDFT$回去，那就可以达到一个优秀的时间复杂度。

现在的问题是如何求这个东西：（注意我们平常求的$DFT$要将长度凑到$2^k$形式的，这样算的循环卷积就是$2^k$长度的循环卷积，和我们要求的不同）
记单位根为$\omega_e$（就是题目的$x$），我们要求$F(\omega_e^k)$，其中$k\in [0,e)$
$F(\omega_e^k)=\sum_{i=0}^{e-1}a_i\omega^{ik} \\ =\sum_{i=0}^{e-1} a_i\omega_e^{\frac{k^2+i^2-(k-i)^2}{2}} \\ =\sum_{i=0}^{e-1} a_i\omega_{2e}^{k^2+i^2-(k-i)^2} \\ =\omega_{2e}^{k^2}\sum_{i=0}^{e-1} a_i\omega_{2e}^{i^2}\omega_{2e}^{-(k-i)^2}$
后面的显然是个卷积，于是NTT即可（这个NTT和我们这里说了求长度为$e$的DFT没有什么关系，不要混淆……）
不过有时候$\omega_e$没有平方根，那么还有另一种拆分方式：
$F(\omega_e^k)=\sum_{i=0}^{e-1}a_i\omega^{ik} \\ =\sum_{i=0}^{e-1} a_i\omega_e^{C_{k+i}^2-C_k^2-C_i^2}$
同样可以求得。
至于$IDFT$，用$\omega^{-1}$代进去，最终结果乘$e^{-1}$即可。

对于这题，直接套用这个做法可以得到和暴力差不多的时间（除快速幂部分外，快速幂部分直接在点值上快速幂）。
这题有个更简单的实现方式：对于一个$1+x^{t_i}$，直接将$\omega_e^k,k\in[0,e)$代进去，就可以快速地计算出它的$DFT$。然后它的乘方就直接在点值上乘方，接着将$t_i$不同的按对应的位置乘在一起，再把每个位置取$m$次方，最后$IDFT$回来。
于是真正需要实现上面这个算法的部分就只有一次$IDFT$啊……

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代码

水法

using namespace std;
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#define N 1000010
#define mo 998244353
#define E 131072
#define T 20000000
#define ll long long
ll qpow(ll x,int y=mo-2){
	ll r=1;
	for (;y;y>>=1,x=x*x%mo)
		if (y&1)
			r=r*x%mo;
	return r;
}
int n,m,x,e;
int t[N];
int nN,re[E],w[E];
void setlen(int n){
	int bit=0;
	for (nN=1;nN<=n;nN<<=1,bit++);
	re[0]=0;
	for (int i=1;i<nN;++i)
		re[i]=re[i>>1]>>1|(i&1)<<bit-1;
}
void clear(ll A[],int n){
	memset(A,0,sizeof(ll)*n);
}
void dft(ll A[],int flag){
	for (int i=0;i<nN;++i)
		if (i<re[i])
			swap(A[i],A[re[i]]);
	for (int i=1;i<nN;i<<=1){
		ll wn=qpow(3,(flag==1?(mo-1)/(2*i):mo-1-(mo-1)/(2*i)));
		w[0]=1;
		for (int k=1;k<i;++k)
			w[k]=(ll)w[k-1]*wn%mo;
		for (int j=0;j<nN;j+=i<<1)
			for (int k=0;k<i;++k){
				ll x=A[j+k],y=w[k]*A[j+k+i];
				A[j+k]=(x+y)%mo;
				A[j+k+i]=(x-y+(ll)mo*mo)%mo;
			}
	}
	if (flag==-1){
		ll invn=qpow(nN);
		for (int i=0;i<nN;++i)
			A[i]=A[i]*invn%mo;
	}
}
void multi(ll c[],ll a[],ll b[],int n){
	static ll A[E],B[E];
	setlen(n*2);
	clear(A,nN);
	for (int i=0;i<n;++i)
		A[i]=a[i];
	dft(A,1);
	if (a!=b){
		clear(B,nN);
		for (int i=0;i<n;++i)
			B[i]=b[i];
		dft(B,1);
		for (int i=0;i<nN;++i)
			c[i]=A[i]*B[i]%mo;
	}
	else{
		for (int i=0;i<nN;++i)
			c[i]=A[i]*A[i]%mo;
	}
	dft(c,-1);
	for (int i=n;i<nN;++i){
		(c[i-n]+=c[i])%=mo;
		c[i]=0;
	}
}
ll fac[N],ifac[N];
ll C(int m,int n){return fac[m]*ifac[n]%mo*ifac[m-n]%mo;}
ll F[E],G[E],H[E];
struct Ans{
	int a,b;
} ans[N];
int cnt;
bool cmpa(Ans x,Ans y){return x.a<y.a;}
int main(){
//	freopen("in.txt","r",stdin);
//	freopen("out.txt","w",stdout);
	freopen("number.in","r",stdin);
	freopen("number.out","w",stdout);
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&x);
	for (int i=1,pw=x;i<=50000;++i,pw=(ll)pw*x%mo)
		if (pw==1){
			e=i;
			break;
		}
	fac[0]=1;
	for (int i=1;i<=n;++i)
		fac[i]=fac[i-1]*i%mo;
	ifac[n]=qpow(fac[n]);
	for (int i=n-1;i>=0;--i)
		ifac[i]=ifac[i+1]*(i+1)%mo;	
	for (int i=1;i<=n;++i)
		scanf("%d",&t[i]);
	sort(t+1,t+n+1);
	H[0]=1;
	int B=/*log2(e)*/1000;
	for (int i=1,j=1;i<=n;++i)
		if (t[i]!=t[i+1]){
			int l=i-j+1;
			if (l>B){
				for (int k=0;k<=l;++k)
					F[(ll)k*t[i]%e]+=C(l,k);
				multi(H,H,F,e);
				for (int k=0;k<=l;++k)
					F[(ll)k*t[i]%e]=0;
			}
			else{
				while (l--){
					for (int k=e-1;k>=0;--k)
						(H[k+t[i]]+=H[k])%=mo;
					for (int k=e-1+t[i];k>=e;--k)
						(H[k-e]+=H[k])%=mo,H[k]=0;
				}
			}
			j=i+1;
		}
	G[0]=1;
	for (;m;m>>=1,multi(H,H,H,e))
		if (m&1)
			multi(G,G,H,e);
	for (int i=0,pw=1;i<e;++i,pw=(ll)pw*x%mo){
		int a=pw,b=G[i];
		if (b)
			ans[++cnt]={a,b};
	}
	sort(ans+1,ans+cnt+1,cmpa);
	for (int i=1;i<=cnt;++i)
		printf("%d %d\n",ans[i].a,ans[i].b);
	return 0;
}