「算法设计与分析」0-1揹包问题

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01揹包问题分析

01揹包的状态转换方程f[i,j] = Max{ f[i-1,j-Wi]+Pi( j >= Wi ), f[i-1,j] }

• f[i,j]表示在前i件物品中选择若干件放在承重为 j 的揹包中，可以取得的最大价值。
• Pi表示第i件物品的价值。
• 决策：为了揹包中物品总价值最大化，第 i件物品应该放入揹包中吗 ？

题目描述：

 假设山洞里共有a,b,c,d ,e这5件宝物（不是5种宝物），它们的重量分别是2,2,6,5,4，它们的价值分别是6,3,5,4,6，现在给你个承重为10的揹包, 怎么装揹包，可以才能带走最多的财富。

 有编号分别为a,b,c,d,e的五件物品，它们的重量分别是2,2,6,5,4，它们的价值分别是6,3,5,4,6，现在给你个承重为10的揹包，如何让揹包里装入的物品具有最大的价值总和？

 首先要明确这张表是至底向上，从左到右生成的。

 为了叙述方便，用e2单元格表示e行2列的单元格，这个单元格的意义是用来表示只有物品e时，有个承重为2的揹包，那么这个揹包的最大价值是0，因为e物品的重量是4，揹包装不了。

 对于d2单元格，表示只有物品e，d时,承重为2的揹包,所能装入的最大价值，仍然是0，因为物品e,d都不是这个揹包能装的。

同理，c2=0，b2=3,a2=6。

对于承重为8的揹包，a8=15,是怎么得出的呢？

根据01揹包的状态转换方程，需要考察两个值，

一个是f[i-1,j],对于这个例子来说就是b8的值9，另一个是f[i-1,j-Wi]+Pi；

在这里，

f[i-1,j]表示我有一个承重为8的揹包，当只有物品b,c,d,e四件可选时，这个揹包能装入的最大价值

f[i-1,j-Wi]表示我有一个承重为6的揹包（等于当前揹包承重减去物品a的重量），当只有物品b,c,d,e四件可选时，这个揹包能装入的最大价值

f[i-1,j-Wi]就是指单元格b6,值为9，Pi指的是a物品的价值，即6

由于f[i-1,j-Wi]+Pi = 9 + 6 = 15 大于f[i-1,j] = 9，所以物品a应该放入承重为8的揹包

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代码

java代码

import java.util.*;
 
public class DynamicProgramming {
 
	public static void main(String[] args) {
		Scanner sc = new Scanner(System.in);
		while (sc.hasNext()) {
 
			/* 1.读取数据 */
 
			int number = sc.nextInt(); // 物品的数量
 
			// 注意：我们声明数组的长度为"n+1",并另score[0]和time[0]等于0。
			// 从而使得 数组的下标，对应于题目的序号。即score[1]对应于第一题的分数,time[1]对应于第一题的时间
			int[] weight = new int[number + 1]; // {0,2,3,4,5} 每个物品对应的重量
			int[] value = new int[number + 1]; // {0,3,4,5,6} 每个物品对应的价值
 
			weight[0] = 0;
			for (int i = 1; i < number + 1; i++) {
				weight[i] = sc.nextInt();
			}
 
			value[0] = 0;
			for (int i = 1; i < number + 1; i++) {
				value[i] = sc.nextInt();
			}
 
			int capacity = sc.nextInt(); // 揹包容量
 
			/* 2.求解01揹包问题 */
 
			int[][] v = new int[number + 1][capacity + 1];// 声明动态规划表.其中v[i][j]对应于：当前有i个物品可选，并且当前揹包的容量为j时，我们能得到的最大价值
 
			// 填动态规划表。当前有i个物品可选，并且当前揹包的容量为j。
			for (int i = 0; i < number + 1; i++) {
				for (int j = 0; j < capacity + 1; j++) {
					if (i == 0) {
						v[i][j] = 0; // 边界情况：若只有0个物品可以选，那只能得到0。所以令V(0,j)=0
					} else if (j == 0) {
						v[i][j] = 0; // 边界情况：若容量为0，那得到的价值也只能为0。所以令V(i,0)=0
					} else {
						if (j < weight[i]) {
							v[i][j] = v[i - 1][j];// 包的容量比当前该物品体积小，装不下，此时的价值与前i-1个的价值是一样的，即V(i,j)=V(i-1,j)；
						} else {
							v[i][j] = Math.max(v[i - 1][j], v[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);// 还有足够的容量可以装当前该物品，但装了当前物品也不一定达到当前最优价值，所以在装与不装之间选择最优的一个，即V(i,j)=max｛V(i-1,j)，V(i-1,j-w(i))+v(i)｝。
						}
					}
				}
			}
 
			System.out.println();
			System.out.println("动态规划表如下：");
			for (int i = 0; i < number + 1; i++) {
				for (int j = 0; j < capacity + 1; j++) {
					System.out.print(v[i][j] + "\t");
				}
				System.out.println();
			}
			System.out.println("揹包内最大的物品价值总和为：" + v[number][capacity]);// 有number个物品可选，且揹包的容量为capacity的情况下，能装入揹包的最大价值
 
			/* 3.价值最大时，包内装入了哪些物品？ */
 
			int[] item = new int[number + 1];// 下标i对应的物品若被选中，设置值为1
			Arrays.fill(item, 0);// 将数组item的所有元素初始化为0
 
			// 从最优解，倒推回去找
			int j = capacity;
			for (int i = number; i > 0; i--) {
				if (v[i][j] > v[i - 1][j]) {// 在最优解中，v[i][j]>v[i-1][j]说明选择了第i个商品
					item[i] = 1;
					j = j - weight[i];
				}
			}
 
			System.out.print("包内物品的编号为：");
			for (int i = 0; i < number + 1; i++) {
				if (item[i] == 1) {
					System.out.print(i + " ");
				}
			}
			System.out.println("----------------------------");
 
		}
 
	}
 
}

01揹包问题

C++代码

#include<iostream>
using namespace std;
#include <algorithm>
 
int w[5] = { 0 , 2 , 3 , 4 , 5 };			//商品的体积2、3、4、5
int v[5] = { 0 , 3 , 4 , 5 , 6 };			//商品的价值3、4、5、6
int bagV = 8;					        //揹包大小
int dp[5][9] = { { 0 } };			        //动态规划表
int item[5];					        //最优解情况
 
void findMax() {					//动态规划
	for (int i = 1; i <= 4; i++) {
		for (int j = 1; j <= bagV; j++) {
			if (j < w[i])
				dp[i][j] = dp[i - 1][j];
			else
				dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - w[i]] + v[i]);
		}
	}
}
 
void findWhat(int i, int j) {				//最优解情况
	if (i >= 0) {
		if (dp[i][j] == dp[i - 1][j]) {
			item[i] = 0;
			findWhat(i - 1, j);
		}
		else if (j - w[i] >= 0 && dp[i][j] == dp[i - 1][j - w[i]] + v[i]) {
			item[i] = 1;
			findWhat(i - 1, j - w[i]);
		}
	}
}
 
void print() {
	for (int i = 0; i < 5; i++) {			//动态规划表输出
		for (int j = 0; j < 9; j++) {
			cout << dp[i][j] << ' ';
		}
		cout << endl;
	}
	cout << endl;
 
	for (int i = 0; i < 5; i++)			//最优解输出
		cout << item[i] << ' ';
	cout << endl;
}
 
int main()
{
	findMax();
	findWhat(4, 8);
	print();
 
	return 0;
}