圖像仿射的基本原理-旋轉變換、平移、縮放

旋轉是圖像處理的常用技巧。今天介紹一下旋轉，平移以及尺度放縮的基本原理。

點的旋轉

給定一個點P（x,y)，以及一個角度$\theta$，求逆時針旋轉$\theta$之後新的點座標$P'$的位置。
我們用極座標表示P
$x = Rcos\phi$
$y = R sin\phi$
逆時針旋轉$theta$之後，
$x' = Rcos(\theta + \phi); y' = Rsin(\theta+\phi)$
把cos和sin拆開。
$x' =R(cos\theta cos\phi - sin\theta sin\phi)\\ = xcos\theta - ysin\theta$
$y' = R(sin\theta cos\phi + cos\theta sin\phi)\\ =xsin\theta + ycos\theta$
然後寫成矩陣形式
$\left[ \begin{matrix} x' \\ y' \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right]$

齊次座標

圖像的仿射變換是要在齊次座標系下進行的。齊次座標能把旋轉，縮放以及平移都用相同大小的矩陣表示，而且他們的組合是線性且可逆的。
範式如下：
$[x',y',1]^T = A[x,y,1]^T$

• 旋轉矩陣
  $A = \left[ \begin{matrix} cos\theta & -sin\theta & 0 \\ sin\theta & cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]$

• 平移矩陣
  $A=\left[ \begin{matrix} 1&0&t_x \\ 0&1&t_y \\ 0&0&1 \end{matrix} \right]$

• 縮放矩陣
  $A=\left[ \begin{matrix} s_x &0&0 \\ 0&s_y&0 \\ 0&0&1 \end{matrix} \right]$

使用這些矩陣，我們就能獲得每個座標在仿射變換之後的位置。

如果我們想讓一張圖片圍繞中心旋轉。我們應該把中心點移到原點座標上，然後旋轉，然後在平移回去。

OpenCV中的仿射API

• cv2.getRotationMatrix2D(center, angle, scale)
• cv2.warpAffine(image, A, (width, height))

第一個函數用來獲得仿射矩陣。你可以設置這個三個自由度。angle用角度值（不是弧度制）
第二個函數是做仿射變換。其中A就是仿射矩陣。

另外numpy中有角度轉弧度的函數 np.radians 以及弧度轉角度的函數 np.rad2deg