图像仿射的基本原理-旋转变换、平移、缩放

旋转是图像处理的常用技巧。今天介绍一下旋转，平移以及尺度放缩的基本原理。

点的旋转

给定一个点P（x,y)，以及一个角度$\theta$，求逆时针旋转$\theta$之后新的点座标$P'$的位置。
我们用极座标表示P
$x = Rcos\phi$
$y = R sin\phi$
逆时针旋转$theta$之后，
$x' = Rcos(\theta + \phi); y' = Rsin(\theta+\phi)$
把cos和sin拆开。
$x' =R(cos\theta cos\phi - sin\theta sin\phi)\\ = xcos\theta - ysin\theta$
$y' = R(sin\theta cos\phi + cos\theta sin\phi)\\ =xsin\theta + ycos\theta$
然后写成矩阵形式
$\left[ \begin{matrix} x' \\ y' \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right]$

齐次座标

图像的仿射变换是要在齐次座标系下进行的。齐次座标能把旋转，缩放以及平移都用相同大小的矩阵表示，而且他们的组合是线性且可逆的。
范式如下：
$[x',y',1]^T = A[x,y,1]^T$

• 旋转矩阵
  $A = \left[ \begin{matrix} cos\theta & -sin\theta & 0 \\ sin\theta & cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]$

• 平移矩阵
  $A=\left[ \begin{matrix} 1&0&t_x \\ 0&1&t_y \\ 0&0&1 \end{matrix} \right]$

• 缩放矩阵
  $A=\left[ \begin{matrix} s_x &0&0 \\ 0&s_y&0 \\ 0&0&1 \end{matrix} \right]$

使用这些矩阵，我们就能获得每个座标在仿射变换之后的位置。

如果我们想让一张图片围绕中心旋转。我们应该把中心点移到原点座标上，然后旋转，然后在平移回去。

OpenCV中的仿射API

• cv2.getRotationMatrix2D(center, angle, scale)
• cv2.warpAffine(image, A, (width, height))

第一个函数用来获得仿射矩阵。你可以设置这个三个自由度。angle用角度值（不是弧度制）
第二个函数是做仿射变换。其中A就是仿射矩阵。

另外numpy中有角度转弧度的函数 np.radians 以及弧度转角度的函数 np.rad2deg