洛谷P1044 栈 浅谈卡特兰数

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洛谷P1044 栈

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标签

• 卡特兰数

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前言

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简明题意

• 最经典的卡特兰数引入场景。给一个序列，每次可以从序列的头部入栈，或者从栈中弹出元素插入到序列的尾部，问有多少种出栈顺序

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思路

• 首先复习一下卡特兰数。卡特兰数19不爆int，35不爆longlong。其次是卡特兰数的计算方法，$s(0)=1$第一个递推式$s(n)=\sum\limits_{i=0}^{n-1}s(i)*s(n-1-i)$，复杂度$n^2$。第二个是通项$s(n)=\frac{2n!}{n!(n+1)!}$，阶乘20不爆longlong，12不爆int，因此用通项法最多只能求到s(10).
• 然后讲一讲卡特兰数到底怎么推的。假设有n个数进行进出栈操作，那么我们知道这n个数有2n个进出栈次序（因为每个数都要进一次栈又要出一次栈）。现在设入栈为+1，出栈为-1，显然我们要从我们要从2n中选出n个+1，其余的地方填-1就行了，所以就有$C_{2n}^n$种填法。那么答案就是$C_{2n}^n$吗？其实不是的，看这样一个序列：-1 -1 -1 1 1 1，显然一开始栈里都没有元素怎么出栈呢？所以我们需要保证选出来的序列，对于任意k<=n，有$\sum_{i=1}^k>=0$，这样的序列才是符合要求的。所以现在求一下不符合要求的序列，也就是求$\sum_{i=1}^k<0$的数量。我们这样考虑，对于一个不符合要求的序列例如+1 -1 -1 +1，我们从第一个元素开始直到第一次不符合要求的那个元素结束，将这些元素取相反数，这个例子中取了相反数就是-1 +1 +1 +1，现在令不符合要求的序列集合为M，取反后的序列集合为N，我们可以知道N到M是一一映射的，也就是说，集合M的大小（不符合要求的数量）等于集合N的大小，而集合N，是由n+1个+1和n-1个-1组成的，那么，集合N的大小等于$C_{2n}^{n-1}$，也就是不符合要求的序列数量是$C_{2n}^{n-1}$，而总的数量是$C_{2n}^n$，所以符合要求的数量是：$C_{2n}^n-C_{2n}^{n-1}$
• 然后我们可以更深一步，探讨一下卡特兰数的变形。回忆之前的情形，+1和-1的数量是相等的，下一种情形，+1和-1的数量不相等。我们简化一下题目，就不引入情景了。现在有n个+1，m个-1，要使得前缀和永远>=0，问有多少种排列方法。这就需要引入集合方法，我们建立一个n*m的表格
  
  +1往右，-1往上，那么为了满足要求，-1的数量在任意时刻不能多余+1的数量，也就是往上的线不能超过中线。我们先举一个犯规的例子：
  我们仍然建立一个像普通卡特兰数的映射，将第一次超过中线的数以及之前的所有取反，然后将剩余的平移过来：
  
  我们发现，又和卡特兰数的普通情形一样了，+1多了一次选择，-1少了一次选择，于是犯规的数目就是$C_{n+m}^{n-1}$，所以符合要求的数目是：$C_{n+m}^{n}-C_{n+m}^{n-1}$.而这种变式的一个经典问题是硬币找零问题，又n个人有100元，m个人有50元，他们排队去买东西，而卖家没有硬币找零，只能用收的钱找零，问有多少种方案可以使得卖家正常收款。我认为，100和50其实是一一对应的关系，也就是+1和-1的关系，那么是不是还可以这样变式呢？给定n个+2和m个-1，问有多少种排列方法使得前缀和恒>=0?处理方法其实和上面的类似。
• 再看下一个问题，圆内连弦问题。在一个圆上取2n个点，连出n条弦，问使得这n条弦互不相交的方案数。为了解决这个问题，我们先引入一个较为简单的例子，现在有n个+1 n个-1，需要将他们排列在圆上，使得顺时针相加起来任意时刻和都>=0，问有多少种排列方法。这其实和序列上的问题没什么区别。那么现在在符合刚刚要求的排列上，直接将相邻的+1和-1连起来（连好后两侧的就相邻），发现刚好是所有弦不相交的。所以连弦问题显然就是卡特兰数。
• 最后还有一个叫卡特兰问题，实际上就是凸多边形的剖分，n边形用n-3条边分成三角形的方案数就是卡特兰数。为了证明这个，需要两条引理，1.n对括号组成的合法方案数是C(n) 2.n个数连乘的顺序有C(n-1)种。括号的很显然，而第二条引理，实际上是和括号问题建立了一个一一映射的关系，从而得出了结论。具体是n个数，那么取n-1对括号，对于每一种合法的括号方案，我们设置一个指针指向n个数中的第一个元素，然后顺序考虑我们的合法括号序列，遇到左括号，则指针右移一位，遇到右括号，则指针指向的数与其左边一个数乘起来，将乘出来的结果看成一个数，然后进行完这个过程，所以每种连乘方案和合法括号序列又建立了映射，因此n个数的连乘方案是C(n-1)。而卡特兰问题就使用了这两个引理。感兴趣的朋友可以参考卡特兰数 — 计数的映射方法的伟大胜利

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注意事项

• 无

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总结

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AC代码

#include<cstdio>
#include<string>
#include<queue>
#include<iostream>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int maxn = 300 + 10;
const int dir[8][2] = { 1, 2, 1, -2, -1, 2, -1, -2, 2, 1, 2, -1, -2, 1, -2, -1 };

void solve()
{
	int n;
	scanf("%d", &n);
	long long dp[100] = { 0 };
	dp[0] = 1;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		for (int j = 0; j <= i - 1; j++)
			dp[i] += dp[j] * dp[i - j - 1];
		
	}

	printf("%lld\n", dp[n]);
}

void test()
{

}

int main()
{
	freopen("Testin.txt", "r", stdin);
	solve();
	//test();
	return 0;
}