雅克比(Jacobian)矩陣

原文地址：雅克比(Jacobian)矩陣作者：彭乾坤

 

雅可比矩陣

 

在向量微積分中，雅可比矩陣是一階偏導數以一定方式排列成的矩陣，其行列式稱爲雅可比行列式。

還有，在代數幾何中，代數曲線的雅可比量表示雅可比簇：伴隨該曲線的一個羣簇，曲線可以嵌入其中。

它們全部都以數學家卡爾·雅可比命名；英文雅可比量"Jacobian"可以發音爲[ja ?ko bi ?n]或者[?? ?ko bi ?n]。

 

目錄

 

• 1 雅可比矩陣
  • 1.1 例子
  • 1.2 在動態系統中
• 2 雅可比行列式
• • 2.1 例子

 

雅可比矩陣

雅可比矩陣的重要性在於它體現了一個可微方程與給出點的最優線性逼近。因此，雅可比矩陣類似於多元函數的導數。

假設F:Rn→Rm 是一個從歐式n維空間轉換到歐式m維空間的函數。這個函數由m個實函數組成: y1(x1,...,xn), ..., ym(x1,...,xn). 這些函數的偏導數(如果存在)可以組成一個m行n列的矩陣，這就是所謂的雅可比矩陣：

 

此矩陣表示爲：

，或者

 

這個矩陣的第i行是由梯度函數的轉置yi(i=1,...,m)表示的

如果p是Rn中的一點，F在p點可微分，那麼在這一點的導數由JF(p)給出(這是求該點導數最簡便的方法)。在此情況下，由F(p)描述的線性算子即接近點p的F的最優線性逼近，x逼近與p

}-

 

編輯] 例子

由球座標系到直角座標系的轉化由F函數給出:R × [0,π] × [0,2π] → R3

 

此座標變換的雅可比矩陣是

 

R4的f函數:

 

其雅可比矩陣爲:

 

此例子說明雅可比矩陣不一定爲方矩陣。

編輯] 在動態系統中

考慮形爲x' = F(x)的動態系統，F : Rn → Rn。如果F(x0) = 0，那麼x0是一個駐點。系統接近駐點時的表現通常可以從JF(x0)的特徵值來決定。

編輯] 雅可比行列式

如果m = n，那麼F是從n維空間到n維空間的函數，且它的雅可比矩陣是一個方塊矩陣。於是我們可以取它的行列式，稱爲雅可比行列式。

在某個給定點的雅可比行列式提供了F在接近該點時的表現的重要信息。例如，如果連續可微函數F在p點的雅可比行列式不是零，那麼它在該點具有反函數。這稱爲反函數定理。更進一步，如果p點的雅可比行列式是正數，則F在p點的取向不變；如果是負數，則F的取向相反。而從雅可比行列式的絕對值，就可以知道函數F在p點的縮放因子；這就是爲什麼它出現在換元積分法中。

例子

設有函數F : R3 → R3，其分量爲：

 

則它的雅可比行列式爲：

 

從中我們可以看到，當x1和x2同號時，F的取向相反；該函數處處具有反函數，除了在x1 = 0和x2 = 0時以外。