matlab PCA-SVD簡單地實現特徵臉方法(Eigenface)

當我們要用一張圖片跟大量圖片對比尋找最相似（最小歐幾里得距離等）時用本文的方法能減少內存使用量加快運算速度。

優化的歐幾里得距離計算方法：

function d = EuclideanDistance(a,b)
% DISTANCE - computes Euclidean distance matrix
%
% E = EuclideanDistance(A,B)
%
%    A - (MxD) matrix 
%    B - (NxD) matrix
%
% Returns:
%    E - (MxN) Euclidean distances between vectors in A and B
%
%
% Description : 
%    This fully vectorized (VERY FAST!) m-file computes the 
%    Euclidean distance between two vectors by:
%
%                 ||A-B|| = sqrt ( ||A||^2 + ||B||^2 - 2*A.B )
%
% Example : 
%    A = rand(100,400); B = rand(200,400);
%    d = EuclideanDistance(A,B);

% Author   : Roland Bunschoten
%            University of Amsterdam
%            Intelligent Autonomous Systems (IAS) group
%            Kruislaan 403  1098 SJ Amsterdam
%            tel.[phone]
%            [email protected]
% Last Rev : Oct 29 16:35:48 MET DST 1999
% Tested   : PC Matlab v5.2 and Solaris Matlab v5.3
% Thanx    : Nikos Vlassis

% Copyright notice: You are free to modify, extend and distribute 
%    this code granted that the author of the original code is 
%    mentioned as the original author of the code.

if (nargin ~= 2)
    b=a;
end

if (size(a,2) ~= size(b,2))
   error('A and B should be of same dimensionality');
end

aa=sum(a.*a,2); bb=sum(b.*b,2); ab=a*b'; 
d = sqrt(abs(repmat(aa,[1 size(bb,1)]) + repmat(bb',[size(aa,1) 1]) - 2*ab));

這兩天在學習PCA在人臉識別裏的作用，並試圖用matlab實現，在做到eigenface的時候由於對線性代數和SVD分解的半知不解，所以一直不能實現圖像的正確匹配。網上的文章沒有直接解決我遇到的困難，所以寫一篇文章，希望給後來者一些提示，以此少走一些彎路。

在其他很多文章裏都詳細介紹了PCA和SVD的原理，我這裏就不在贅述，而是直接解釋怎麼用matlab代碼實現這個步驟。

（1）、假設我們現在有待匹配數據的集合rawFaceMatrix，其中假設size（rawFaceMatrix）= 12000*90，rawFaceMatrix的每一列都是一張unroll的圖片，有90行代表有90張圖片。現在我們要求出這個矩陣的平均值即爲平均臉，並且將數據減去這個平均值（This will prevent PCA from representing patterns that are the same in every image.）

    meanFace = zeros(size(rawFaceMatrix,1),1);
    meanFace = mean(rawFaceMatrix,2);
    A = zeros(size(rawFaceMatrix));
    A = rawFaceMatrix - repmat(meanFace,1,size(rawFaceMatrix,2));

獲得的A矩陣就是減去平均臉後的矩陣，這也是我們後續要比對的數據庫了。

（2）、給定一張相同大小的圖片testImg，size（testImg）= 100*120，我們現在把它由一行變成一列，同樣的減去平均臉。

   

    unroll_img = testImg(:);
    testImg = unroll_img - meanFace;

（3）、對A矩陣即爲數據庫進行SVD分解以壓縮數據，我這裏給出一個matlab的子程序doPCA.m。

function [prinComponents, weightCols] = doPCA(A, numComponentsToKeep)

    weightCols = zeros(numComponentsToKeep, size(A,2));
    prinComponents = zeros(size(A,1), numComponentsToKeep);
    [U,S,V] = svd(A,'econ'); %it is much more efficient when we only need the top few components, as we do here.
    U = U(:,1:numComponentsToKeep);
    S = S(1:numComponentsToKeep,1:numComponentsToKeep);
    V = V(:,1:numComponentsToKeep);
    prinComponents = U;
    weightCols = S*V';

end

輸入A和需要取的特徵值個數numComponentsToKeep，返回prinComponents（基底）和weightCols（在基底上投影的權重矩陣）。相關線性代數內容不再贅述。

（4）、求出我們需要對比的圖片在上述基底上的投影，這樣我們就能將其與數據庫裏的圖像進行對比（也就是跟weightCols進行對比）。

test_weightCols = prinComponents\testImg;

test_weightCols即爲對比圖像在上述基底上的投影，注意我們在這裏用了matlab裏特有的“ \ ”運算。

（5）、現在我們已經將待對比圖片和數據庫都進行了簡化處理，它們之間可以直接求歐氏距離，我們取最小值就能得到最優解。這裏給一個子程序求歐氏距離（可以替換成文章開頭給出的歐幾里得距離優化算法）跟對應的index。

function [minDist, indexOfClosest] = indexOfClosestColumn(A, test_weightCols)

    n = size(A,2);
    minDist = Inf;
    for i = 1 : n
        temp = sum((A(:,i)-test_weightCols).^2);
        dist = sqrt(temp);
        if dist < minDist
            minDist = dist;
            indexOfClosest = i;
        end
    end
    
end

現在我們取得最優解的index。

[minDist, indexOfClosestMatch] = indexOfClosestColumn(weightCols, test_weightCols);

再配合一條顯示語句就能顯示最優解的圖片：

viewFace( rawFaceMatrix(:,indexOfClosestMatch), imgHeight); 

以下爲viewFace.m。

function viewFace( faceColumn, imgHeight)

    imshow(reshape(faceColumn,imgHeight, []),[0 255]);
end

至此簡單的matlab代碼實現主成分分析在人臉識別中的應用就完成了。(將其中doPCA替換成相應的Fisherface代碼就能實現Fisherface的功能)