特徵方程和特徵根

有遞推關係：a_{n =} c₁a_n-1 + c₂a_n-2 + ... + c_pa_n-p   ①

其中，p ≤ n,   c₁ ,c_{2, ...} c_p是常數，且 c_p ≠ 0，則稱爲常係數線性齊次遞推關係(所有的ak的項都是一次冪）。

一旦我們給出前P個項a₀,a₁,...,a_p-1的值，遞推關係 ①式有唯一解，這些值形成爲初始條件，根據a₀,a₁,...,a_p-1的值，我們能確定a_p, 於是根據a₀,a₁,...,a_p-1,a_p的值，能確定a_p+1，以此類推。

一般地，如果忽略初始條件，那式將會有很多解。其中的某些解將是形如下面的序列：

m⁰,m¹,m²,...,mⁿ,... ②

其中m是一個數，從確定是式稱爲式的一個解的m值開始。

在 ①式中，用x_k替換a_k, 並求解x,

xⁿ=c¹x^n-1 - c²x^n-2 - ...- c^px^n-p ③

③式兩邊同時除以x_n-p得：

x^p - c¹x^p-1 - c²x^p-2 -...- c^px⁰ = 0 ④

④式爲遞推關係 ①式的特徵方程，該方程是一個x的p次多項式，所以有p個根，其中某些根可能是重根，或者是複數，這些根稱爲遞推關係式的特徵根。

例：a_n = 5a_n-1 - 6a_n-2  ⑤   且a0=1,a1=1;

特徵方程：x² - 5x + 6 = 0

a1=2, a2=3是特徵根

參考《離散數學及應用》羅恩