Symbolic Math Toolbox 是MATLAB進行符號運算的工具箱，其符號運算引擎是MuPAD，具有比較強大的符號計算功能。但與專業的符號運算軟件Mathematics比較，還是有欠缺，具體的比較不在本文考慮範圍。
符號變量及普通變量的差別
符號變量是一個精確的值，而普通的變量是一個近似數值。比如在 matlab 中運行如下代碼：
sin(sym(pi))
sin(pi)第一個是符號變量，第二個是普通的變量，結果的差別非常明顯。
sym 及 syms 函數
matlab 中使用 sym 以及 syms 函數來定義符號變量，比如使用
x = sym('x');
syms x來定義符號變量 x，兩種方法是等價的。我比較喜歡第二種，可以簡便地定義多個符號變量，如
syms x y z但在定義一個符號常數時，一般使用 sym 函數，比如
f = sym(5)此外，還可以定義符號函數變量，如 （記得清除已定義的 f 變量）
syms x y a b
f(x,y) = sin(x) + y
f(a,b) %將符號變量 a,b 代入 f 的表達式符號運算
符號運算大概包括加減乘除、微積分、多項式運算、解方程和一些特殊的函數運算等等。這裏主要介紹微積分、簡單代數方程的求解以及一些特殊運算。
微積分
主要是 diff 和 int 函數。
1.diff 函數：
syms x y
f = sin(x) + cos(y)
diff(f) %對 x 求偏導
diff(f,x) %對 x 求偏導
diff(f,x,3) %對 x 求三次偏導
diff(f,y) %對 y 求偏導2.int 函數
syms x y
f = sin(x) + cos(y)
int(f) %對 x 積分
int(f,x) %對 x 積分
int(f,y) %對 y 積分
int(f,x,[0,1]) %對 x 求定積分,上下限分別爲 0 和 1多次求導以及多重積分就是對 diff 以及 int 函數的嵌套重複使用。
關於變分下次另開專題，先給自己立個flag。
解代數方程
求解代數方程主要就是使用 solve 函數，例子如下：
syms x
f = x^2-1 == 0
solx = solve(f)
syms x y a
[solx,soly] = solve(x^2*y^2 == 0, x-y/2 == a)此外重要的是 assume 函數的使用，這一函數可以對符號變量進行限制假定，例如：
syms x
solve(x^7 + 2*x^6 - 59*x^5 - 106*x^4 + 478*x^3 + 284*x^2 - 1400*x + 800, x)
assume(x > 0)
solve(x^7 + 2*x^6 - 59*x^5 - 106*x^4 + 478*x^3 + 284*x^2 - 1400*x + 800, x)兩次的結果是不一樣的，可以看到第二次的結果 x 都大於 0，滿足了對 x 的假設。清楚對 x 的假設應該使用下述代碼：
assume(x,'clear')此外第二個方程也可用如下形式：
solve(x^7 + 2*x^6 - 59*x^5 - 106*x^4 + 478*x^3 + 284*x^2 - 1400*x + 800, x>0)特殊的函數
一些常用的函數列舉如下：
---------------------------------------------------------------------------
syms x y
f = x^3 + 2*x^2 - x^2 + y^4
simplify(f) %化簡表達式
---------------------------------------------------------------------------
syms x
expand((x - 2)*(x - 4)) %展開表達式
---------------------------------------------------------------------------
syms x
F = factor(x^2-1) %因式分解
---------------------------------------------------------------------------
pretty(F) %使表達式顯示好看點，但在新版本的 matlab 中，使用 Live Scripts 可以顯示更加符合數學書寫習慣的表達式
---------------------------------------------------------------------------
syms x
taylor(exp(x)) %泰勒級數，最高階爲5，可以使用'order'選項修改
taylor(sin(x))
taylor(cos(x))
---------------------------------------------------------------------------
syms x
f = sin(x)/x
limit(f,x,0) %求 x->0 時的極限
---------------------------------------------------------------------------
syms t
f = exp(-t^2)
ft_f = fourier(f) %傅里葉變換
---------------------------------------------------------------------------
syms w
F = exp(-w^2/4)
ifourier(F) %傅里葉逆變換
---------------------------------------------------------------------------
syms x
f = 1/sqrt(x)
laplace(f) %拉普拉斯變換
---------------------------------------------------------------------------
syms x y z
f(x, y, z) = 1/x + y^2 + z^3
L = laplacian(f, [x y z]) %求標量函數的拉普拉斯最後一個是關於卷積的，只是從 Github 上覆制來的代碼，原網址在這裏
function c = symconv(a, b)
% In short, this function takes a sym, returns a sym (usually)
%
% Convolve two symbolic expressions, a and b.
%
% Author: Edward Peguillan III
% Date: 12 April, 2016, 21:49 UTC
%
% DO WHAT THE FUCK YOU WANT TO PUBLIC LICENSE
% Version 2, December 2004
%
% Copyright (C) 2016 Ed Peguillan III <[email protected]>
%
% Everyone is permitted to copy and distribute verbatim or modified
% copies of this license document, and changing it is allowed as long
% as the name is changed.
%
% DO WHAT THE FUCK YOU WANT TO PUBLIC LICENSE
% TERMS AND CONDITIONS FOR COPYING, DISTRIBUTION AND MODIFICATION
%
% 0. You just DO WHAT THE FUCK YOU WANT TO.
%
% If u and v arent of class sym, then get out
is_a_sym = isa(a, 'sym'); is_b_sym = isa(b, 'sym');
if (isa(a, 'sym') + isa(b, 'sym')) < 2
error('Input to symconv must be (sym, sym), not (%s, %s).', ...
class(a), class(b));
end
var = symvar(a);
if(var ~= symvar(b))
error('Input to symconv must be functions of the same variable.');
end
syms tau real;
% By the definition of convolution:
atau = subs(a, var, var - tau); % transform all to the tau axis
btau = subs(b, var, tau); % give one the t-tau
c = int(atau * btau, tau, -inf, inf);
% Preemptively repair dumb expressions:
c = rewrite(c, 'heaviside');
c = rewrite(c, 'exp');
end