Matrix Free（Jacobian Free）方法及其在流動穩定性理論中的應用

小擾動控制方程

對於非線性系統

∂q∂t=N(q)

在平衡點 qb 附近線性化，得到小擾動的控制方程

∂q′∂t=Fq′

線性算子F 與非線性算子N 之間存在的關係爲

F=∂N/∂q|qb

對於複雜系統來說，線性算子F 的表達式可能十分複雜，難以直接得到。可以通過Fre´chet 導數來避免顯式獲得F

Fq′=∂N/∂q|qbq′≈N(qb+ϵq′)−N(qb)ϵ

將方程離散後，線性方程∂q′∂t=Fq′ 變爲常微分方程

dq′dt=Aq′

在計算流體力學中，根據求解問題的複雜程度，矩陣A 的維數可能是巨大的（與NxNyNz 成正比，Nx,Ny,Nz 分別爲在x,y,z 方向的網格數），顯式獲得存儲A 的每個元素，不僅實現起來難度大，而且及耗內存。

待續…