動態規劃（四）最長公共子序列

題目描述

最長公共子序列問題（LCS），給定兩個序列X= {x1,x2…,xm},Y= {y1,y2,…yn},求X 和Y長度最長的公共子序列。
什麼叫公共子序列：Z既是X的子序列，又是Y的子序列，我們稱它是X和Y的公共子序列。
子序列和子串的區別：子串是串的一個連續的部分，子序列是不改變順序，從序列中去掉任意的元素而獲得的新序列。
例如：X = {A,B,C,B,D,A,B},Y= {B,D,C,A,B,A}
輸出爲 4，Z= {B,C,B,A }爲最長的公共子序列。

分析

1.刻畫最長公共子序列的特徵

子問題的自然分類對應兩個輸入序列的前綴對，前綴的定義爲：給定一個序列X= {x1,x2…xm},對i= （0，m）,定義X的第i前綴爲Xi = {x1,x2…xi}。其實就是以xi爲後綴

令X= （x1,x2,…xm）和Y= {y1,y2,…yn}爲兩個序列，Z= {z1,z2,…zk}爲X 和Y的任意LCS。
1，如果xm = yn,則zk = xm= yn,且Zk-1 是Xm-1和Yn-1的一個LCS.
2，如果xm!= yn,zk != xm,意味着Z是Xm-1和Yn的一個LCS
3,如果xm != yn, zk != yn,意味着Z是X和Yn-1的一個LCS

兩個序列的LCS包含兩個序列的前綴的LCS，因此，LCS問題具有最優子結構性質。

2.建立遞歸式

我們可一很容易看出LCS問題的重疊子問題性質，爲了求X和Y的一個LCS，我們可能需要求X和Yn-1的一個LCS及Xm-1和Y的一個LCS，但是這幾個問題都包含求解Xm-1和Yn-1的LCS的子子問題。
建立最優解的遞歸式

定義c[i][j]表示Xi和Yj的LCS的長度。
c[i][j] = 0 i = 0或j= 0 i從1開始到m
c[i][j] = c[i-1][j-1]+1 ;xi = yj
c[i][j] = max(c[i-1][j],c[i,j-1]) ;xi!= yj

我們通過限制條件限定了需要求解哪些子問題。

3.動態規劃方法

#include<stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>

int lcs(char * a,char * b)
{
    int m = strlen(a);

    int n = strlen(b);

    int (*c)[n+1] = (int (*)[n+1])malloc((m+1) *(n+1)* sizeof(int));

    int i,j;
    for(i = 0;i<=m;i++)
        c[i][0] = 0;
    for(j = 0;j<=n;j++)
        c[0][j] = 0;

    for(i = 1;i<= m;i++) //對應從x1-xm，x0 = 0
    {
        for(j = 1;j<= n;j++)
        {
            if(a[i] == b[j])
                c[i][j] = c[i-1][j-1]+1;
            else
            {
                if(c[i-1][j] > c[i][j-1])
                    c[i][j] = c[i-1][j];
                else
                    c[i][j]= c[i][j-1];
            }
        }
    }
    int result =c[m][n];
    free(c);
    return result;

}
int main()
{
    char a[10] = "abcbdab";
    char b[10] = "bdcaba";
    printf("%d\n",lcs(a,b));
    return 0;
}