分形與分形藝術

分形與分形藝術
	我們人類生活的世界是一個極其複雜的世界，例如，喧鬧的都市生活、變幻莫測的股市變化、複雜的生命現象、蜿蜒曲折的海岸線、坑坑窪窪的地面等等，都表現了 客觀世界特別豐富的現象。基於傳統歐幾里得幾何學的各門自然科學總是把研究對象想象成一個個規則的形體，而我們生活的世界竟如此不規則和支離破碎，與歐幾 裏得幾何圖形相比，擁有完全不同層次的複雜性。分形幾何則提供了一種描述這種不規則複雜現象中的秩序和結構的新方法。 一、分形幾何與分形藝術 什麼是分形幾何？通俗一點說就是研究無限複雜但具有一定意義下的自相似圖形和結構的幾何學。什麼是自相似呢？例如一棵蒼天大樹與它自身上的樹枝及樹枝上的 枝杈，在形狀上沒什麼大的區別，大樹與樹枝這種關係在幾何形狀上稱之爲自相似關係；我們再拿來一片樹葉，仔細觀察一下葉脈，它們也具備這種性質；動物也不 例外，一頭牛身體中的一個細胞中的基因記錄着這頭牛的全部生長信息；還有高山的表面，您無論怎樣放大其局部，它都如此粗糙不平等等。這些例子在我們的身邊 到處可見。分形幾何揭示了世界的本質，分形幾何是真正描述大自然的幾何學。 “分形” 一詞譯於英文Fractal，系分形幾何的創始人曼德爾布羅特（B.B.Mandelbrot）於1975年由拉丁語Frangere一詞創造而成，詞本 身具有“破碎”、“不規則”等含義。Mandelbrot研究中最精彩的部分是1980年他發現的並以他的名字命名的集合，他發現整個宇宙以一種出人意料 的方式構成自相似的結構（見圖1）。Mandelbrot 集合圖形的邊界處，具有無限複雜和精細的結構。如果計算機的精度是不受限制的話，您可以無限地放大她的邊界。圖2、圖3 就是將圖1中兩個矩形框區域放大後的圖形。當你放大某個區域，它的結構就在變化，展現出新的結構元素。這正如前面提到的“蜿蜒曲折的一段海岸線”，無論您 怎樣放大它的局部，它總是曲折而不光滑，即連續不可微。微積分中抽象出來的光滑曲線在我們的生活中是不存在的。所以說，Mandelbrot集合是向傳統 幾何學的挑戰。 圖 1 Mandelbrot集合 圖 2 Mandelbrot集合局部放大 圖 3 Mandelbrot集合局部放大 用數學方法對放大區域進行着色處理，這些區域就變成一幅幅精美的藝術圖案，這些藝術圖案人們稱之爲“分形藝術”。“分形藝術” 以一種全新的藝術風格展示給人們， 使人們認識到該藝術和傳統藝術一樣具有和諧、對稱等特徵的美學標準。這裏值得一提的是對稱特徵，分形的對稱性即表現了傳統幾何的上下、左右及中心對稱。同 時她的自相似性又揭示了一種新的對稱性， 即畫面的局部與更大範圍的局部的對稱，或說局部與整體的對稱。 這種對稱不同於歐幾里德幾何的對稱，而是大小比例的對稱，即系統中的每一元素都反映和含有整個系統的性質和信息。這一點與上面所講的例子：“一頭牛身體中 的一個細胞中的基因記錄着這頭牛的全部生長信息”， 完全吻合。 不管你是從科學的觀點看還是從美學的觀點看，她都是那麼富有哲理，她是科學上的美和美學上的美的有機結合。 二、複平面中的神奇迭代 Mandelbrot集合是Mandelbrot在複平面中對簡單的式子 Z <- Z^2 + C 進行迭代產生的圖形。雖然式子和迭代運算都很簡單，但是產生的圖形出現那麼豐富多樣的形態及精細結構簡直令人難以置信以至於不可思議。在傳統幾何學中難以 找到如此簡單的規律隱藏着如此複雜而生動的例子。Mandelbrot集合告訴我們自然界中簡單的行爲可以導致複雜的結果。例如，大型團體操中每個人穿的 衣服只有幾種顏色中的一種，每個人的動作也只是導演規定的幾種之一。但是整體上可以顯示出多種多樣的複雜形態。 Julia 集合 在複平面上，水平的軸線代表實數，垂直的軸線代表虛數。每個Julia集合（有無限多個點）都決定一個常數C，它是一個複數。現在您在複平面上任意取一個點，其值是複數Z。將其代入下面方程中進行反覆迭代運算： 　　 就是說，用舊的Z自乘再加上C後的結果作爲新的Z。再把新的Z作爲舊的Z，重複運算。當你不停地做，你將最後得到的Z值有3種可能性： 　　1、Z值沒有界限地增加（趨向無窮） 　　2、Z值衰減（趨向於零） 　　3、Z值是變化的，即非1或非2 趨向無窮和趨向於零的點叫定常吸引子，很多點在定常吸引子處結束，被定常吸引子所吸引。非趨向無窮和趨向於零的點是“Julia集合”部分，也叫混沌吸引子。 問題是我們怎樣才能讓計算機知道哪一個點是定常吸引子還是“Julia集合”。一般按下述算法近似計算： 　　n=0; 　　while ((n++ < Nmax) && (( Real(Z)^2 + Imag(Z)^2) < Rmax)) 　　{ 　　　Z=Z*Z+C; 　　} 其中：Nmax爲最大迭代次數 　　　Rmax爲逃離界限 退出while循環有兩種情況，第一種情況是： 　　(Real(Z)^2 + Imag(Z)^2) >= Rmax 屬於這種情況的點相當於“Z值沒有界限地增加（趨向無窮）”，爲定常吸引子,我們把這些區域着成白色。第二種情況是： 　　n >= Nmax 屬於這種情況的點相當於“Z 值衰減（趨向於零）”或“Z 值是變化的”，我們把這些區域着成黑色。黑色區域圖形的邊界處即爲“Julia集合”。“Julia集合”有着極其複雜的形態和精細的結構。 黑白兩色的圖形藝術感染力不強。要想得到彩色圖形，最簡單的方法是用迭代返回值n來着顏色。 要想獲得較好的藝術效果，一般對n做如下處理： 　　Red = n*Ar+Br; 　　Grn = n*Ag+Bg; 　　Blu = n*Ab+Bb; 　　if ((Red & 0x1FF) > 0xFF) Red = Red ^ 0xFF; 　　if ((Grn & 0x1FF) > 0xFF) Grn = Grn ^ 0xFF; 　　if ((Blu & 0x1FF) > 0xFF) Blu = Blu ^ 0xFF; 其中：Ar、Ag、Ab及Br、Bg、Bb爲修正量 獲得的Red、Grn、Blu爲RGB三基色，着色效果爲週期變化，具有較強的藝術感染力，而且等位線也蘊藏在週期變化的色彩之中。 你可以想象得出，在屏幕上順序的試用每個像素點來反覆迭代方程要花費很長的時間。一幅 1024x768 屏幕尺寸的畫面有786432個點。其中一些點在計算機上要反覆迭代方程次數達1000次（取決於Nmax的取值）或更多次才放棄運算。運算產生一幅 Julia集合需要花費很長的時間，有時需要產生一幅做海報用的大圖像時，如 10240x7680，要花幾天的時間。當然，你使用高速計算機會縮短這個時間。圖 4、5、6是三幅Julia集合： 圖 4 象塵埃一樣的結構 圖 5 穩定的固態型 圖 6 象樹枝狀 Mandelbrot 集合 將Mandelbrot集合和Julia集合聯繫在一起，Julia集合有若干類型，都包含在Mandelbrot集合之中。Julia集合中的C是一個 常量，而Mandelbrot集合的C是由進入迭代前的Z值而定。迭代結果，Z值同樣有3種可能性，即： 　　1、Z值沒有界限地增加（趨向無窮） 　　2、Z值衰減（趨向於零） 　　3、Z值是變化的，即非1或非2 Mandelbrot集合是所有的朱莉婭集合的合併，Mandelbrot集合的某個區域放大後就是這個點的Julia集合。 Mandelbrot集合有着一些很異國情調並且古怪的形狀（見圖1）。你能不停地永遠放大Mandelbrot集合，但是受到計算機精度的限制。 Newton/Nova 分形 Newton奠定了經典力學、光學和微積分學的基礎。但是除了創造這些自然科學的基礎學科外，他還建立了一些方法，這些方法雖然比不上整個學科那麼有名， 但已被證明直到今天還是非常有價值的。例如，牛頓建議用一個逼近方法求解一個方程的根。你猜測一個初始點，然後使用函數的一階導數，用切線逐漸逼近方程的 根。如方程 Z^6 + 1 = 0有六個根，用牛頓的方法“猜測”複平面上各點最後趨向方程的那一個根， 你就可以得到一個怪異的分形圖形。 和平常的Julia分形一樣，你能永遠放大下去，並有自相似性。 牛頓分形圖形中的顏色顯示每個答案的種類及性質， 即迭代到目的地花費的時間，如圖7所示： 圖7 Newton分形 Paul Derbyshire研究牛頓分形圖形時，他把Julia集合的常值C加入進去改變了一下算法，並用同樣的方法去估算Z，逼近答案，產生奇特的並稱之爲“Nova”的分形圖形。“Nova”類型分形圖形如圖8所示： 圖 8 Nova分形 三、關於分形藝術的爭論 把計算機產生的圖形看成是藝術，有人可能要提出一些疑問。這些圖形可以利用高品質的打印機產生任意多幅同樣質量的“原作”，從而在商業化的藝術市場上造成混亂，因此她沒有收藏價值，沒有收藏價值的作品還能算得上是藝術嗎？ 這是一個十分敏感的問題。早在六十年代初有些數學家和程序設計人員就開始利用計算機及繪圖設備從事這方面的工作。但他們大部分人避免將自己的工作與“藝 術”一詞掛起鉤來，以免與藝術界的人們發生衝突。但是有一些人還是挺着腰桿去面對批評，承認計算機是視覺藝術的一種新工具，稱他們自己的方法爲“計算機藝 術”。在批評面前，他們沒有受到影響。他們不顧理論界的反對而繼續自己的探索。　他們積累了大量令人難忘的成果。　正因爲他們的努力纔出現了今天的 PhotoShop、Corel DRAW等等著名的軟件，以及各種計算機藝術團體組織。PhotoShop也成了某些美術專業學生的必修課。 當今時代出現的充滿科技含量的“分形藝術”又不同於運用PhotoShop從事的計算機藝術創作。“分形藝術”是純數學產物，是否能算得上藝術必然會引起 新的爭論。爭論最活躍的問題是：分形圖形是純數學產物能算得上藝術嗎？既然學習數學和程序設計就可以從事藝術創作了，學習美術專業還有什麼用處呢？ 這個問題提的好。　從事分形藝術創作的人要研究產生這些圖形的數學算法，這些算法產生的圖形是無限的。他們沒有結束，你永遠不能看見它的全部。你不斷放大 她們的局部，也許你可能正在發現前人沒曾見到過的圖案。這些圖案可能是非常精彩的。她們與現實世界相符合，從浩瀚廣闊的宇宙空間到極精緻的細節，是完全可 以用數學結構來描述的。另一個的問題是顏色，好的顏色選擇，就可以得到一幅奇妙的圖形。糟糕的選擇，你得到的就是垃圾。所以說，創造分形藝術，最好再學一 點繪畫基礎、色彩學等，那將是大有益處。 分形幾何衝擊着不同的學術領域，她在藝術領域顯示出非凡的作用。創作精美的分形藝術是國內外分形藝術家們的人生追求，總有一天分形藝術會登上大雅藝術殿堂。
補充說明
	用上述算法，就可以創作出很多精美的圖片，比如下圖就是按這種算法計算出來的分行藝術作品。當然了，使你的作品更神奇、漂亮，你必需不斷改進你的算法。堅 持持續多年，肯定會積累很多好的算法主意。一個人能堅持數年認真做一件事情，肯定能做的很好、或很出色。 多年程序設計告訴了我，一個具有實用價值的分形藝術軟件，真正核心算法所佔的程序篇幅並不是很大，而輔助程序所佔的程序代碼量非常龐大。比如：交互界面的 安排、設計；表達試的編譯運行；每幅分形圖案參數的讀取、保存、交互修改等等。這些你都要認真思考去合理設計才能使你的程序使用起來得心應手。即使你實現 上述固定一個表達式的簡單演示程序，你也要做大量輔助代碼工作。 奔月(Luna)

來源：http://www.fractal.net.cn/