編程之美1.13 威佐夫博奕拓展的分析與論證

       續接前文，本人博文《編程之美1.12 尼姆博弈拓展的分析與論證》論證了經典尼姆博弈的部分拓展問題。然而，尼姆博弈是此博弈問題拓展系列所要討論的問題之一。接下來，本文探討下一個博弈問題的拓展——威佐夫博奕。

威佐夫博奕

       威佐夫博奕的問題描述如下：有兩堆各若干個物品，兩個人輪流從某一堆或同時從兩堆中取同樣多的物品，規定每次至少取一個，多者不限，最後取光者得勝。問給定兩堆物品的數量，誰會贏得這個遊戲。

       答案：這是一個非常經典的博弈問題，網上也有諸多關於這一問題的探討。其奇異局勢滿足如下形式：。

       拓展：遊戲規則不變，不同的是最後取完石頭者輸掉遊戲。

       對於拓展問題，我們首先探討一些簡單情況：

       1、博弈局勢<0,1>是奇異局勢。因爲此時，遊戲者只能拿最後一個而輸掉比賽。相應的<x,1>(x>0)或者<0,x>(x>1)均爲非奇異局勢。它們都可以通過拿"x"那堆到局勢<0,1>。

       2、博弈局勢<2,2>是奇異局勢。此時遊戲者只有三種策略可選：取<1,1>==><1,1>，取<1,0>==><1,2>，取<2,0>==><0,2>，以上三種取法的結果在上一種情況都討論過，均是非奇異局勢。因此，<2,2>奇異局勢。

       通過上述討論，我們很明顯地發現原問題的解在拓展問題中是行不通的。奇異局勢<0,1>或<2,2>都和無關。因此，該問題需要進行進一步的分析討論。

       同原問題一樣，拓展問題也滿足以下性質。

       性質一：不存在任何兩個局面和同時爲奇異局勢。

       通過性質一，我們仍發現拓展問題和原問題一樣，奇異局勢<a,b>中的a和b存在一一對應關係。利用這一特點，我們進一步討論其他情況下的奇異局勢。

        對於，可以通過先確定a的值，然後再尋找唯一的b與之構成奇異局勢。利用該方法，可以得出以下結論。

        將所有奇異局勢從小到大排列，記第個奇異局勢爲。則奇異局勢滿足以下性質：

        性質二：當時，奇異局勢滿足。其中。

         證：當n=2時，有時，分別來看玩家的兩種取子方式：①兩堆取相同數目：此時，取到的局勢將會是<0,2>,<1,3>,<2,4>，其中與0,1,2三個數字配對的均無法構成奇異局勢；②取一堆任意數目：該方式首先要避免讓某一堆石頭小於等於2個，根據性質一，這類局勢會讓對方構成奇異局勢。剩下的可行局勢就只剩<3,3>和<3,4>了，然而它們均爲非奇異局勢，因爲存在如下取法<3,3>==><2,2>，<3,4>==><1,2>。因此，局勢<3,5>爲奇異局勢。進一步，可以由已論證的奇異局勢發現如下性質：已論證奇異局勢有<0,1>,<2,2>,<3,5>，其差值爲1,0,2。構成集合{0,1,2}，正好覆蓋0到n的所有整數。

               假設時，題設的結論成立。同時滿足集合性質，其中表示奇異局勢差值所構成的集合。此時，利用a來表示，分如下情況討論：

               (1)對於局面的情況。通過a的定義可知，x已經有另外一個比a小的數字與之配對構成奇異局勢。根據性質一可知，該局勢爲非奇異局勢。

               (2)對於局面的情況。由於此時，。因此，對於任意0<=x<k，玩家都可通過兩堆取相同數量的石頭的方式達到某一個奇異局勢<a,b>滿足b-a=x。

               (3)對於局面<a,a+k>的情況。此時，我們對兩種所有取子方式進行討論：①兩堆取相同數目：此時，兩堆石頭的數量差值恆爲k，然而對於，無論怎麼取都無法達到奇異局勢<a,b>滿足b-a=k；②取一堆任意數目：顯然，如果取數量爲a+k那堆，那麼情況將跳轉到第(1)或第(2)種情況，而無論是哪種情況，均已被論證是非奇異局勢了。而如果取數量爲a那堆，則構成局勢<x,a+k>(x<a)，根據a的定義，x已經有另一個數字y構成奇異局勢，且y<x+k<a+k。因此，根據性質一可知，不存在<x,a+k>與<x,y>同時爲奇異局勢，<x,a+k>爲非奇異局勢。綜上所述，局面<a,a+k>爲奇異局勢。同時，滿足上述奇異局勢差值的集合性質。

               (4)由於局面<a,a+k>爲奇異局勢，顯然不是奇異局勢。

               因此，對於任意，與其構成奇異局勢的。

               綜上所述，性質二成立。

       通過對比，我們發現，性質二所得出的結論居然和原問題的結論是很相似的，僅僅是在範圍上有些不同而已。事實上，拓展問題看起來和原問題是相反的。然而，當初始兩堆石頭的數量均大於2時，它們的結論是相同的，依舊可以用公式判斷是否奇異。而對於存在小於2的石頭時，僅需要特判一下局勢是否滿足<0,1>,<2,2>就可以判斷是否時奇異局勢了。