參考資料：《算兩次》單遵，中國科學技術大學出版社，p73
交換和號-利用矩陣推導
有一個m行n列的矩陣（數表）：
第i行的和記爲ri：
第j行的和記爲cj：
易知，矩陣中的所有元素的和 等於 所有行和ri求和 等於 所有列和cj求和：
上式也可寫爲：
即二重和的和號（求和次序）可以交換。
但要注意，但求和項數變爲無窮或者（一個或兩個）和號變爲積分號時，往往要添加一個條件，相應的交換和號的結論才能成立。比如，著名的關於二重積分的富比尼定理，這也是“算兩次”被冠以富比尼原理的緣由。
例子1-利用了上三角矩陣
注意“啞標”k，i的變化範圍，交換和號時，一定要正確地確定求和的範圍。
這個例子用到的上三角矩陣如下：
例子2-稍微複雜一點的例子
這個例子也是用到了三角矩陣。