關於n！的位數的問題

首先引入Stirling公式：n!≈2πn−−−√(ne)n
證明：
an=n!ennn+12 ，先證an 存在極限：夾逼原理。
anan+1=n!ennn+12(n+1)!en+1(n+1)n+1+12=(1+1n)n+121e>1
故有：an>an+1 ,由an>0 ,故an 存在極限。
求取極限，利用wallis公式：

應用：1000! 的位數
1000! 的位數，即求取lg1000! 的大小。
lgn!≈lg(2πn−−−√(ne)n)=12lg2π+12lgn+nlgn−nlge ,將1000帶入有。
lg1000!≈12lg2π+32+3000−1000lge
又lge=0.4342944819,lg(2π)=0.7981798684
故結果爲：lg1000!≈2567.604608 ,故結果爲2568位。