第十三章 時間序列分析和預測

時間序列的關鍵是確定出已有的時間序列的變化模式，並假定這種模式會延續到未來。
時間序列分析就其發展的歷史階段和所使用的統計分析方法來看，有傳統的時間序列分析和現代時間序列分析。下文主要介紹傳統的時間序列的分析方法，內容包括時間序列數據的統計和預測方法。

1 時間序列及其分解

時間序列是同一現象在不同時間上的相繼觀察值排列而成的序列，可以分爲平穩序列和非平穩序列。
平穩序列（stationaryseries）是基本上不存在趨勢的序列。這類序列中的各觀察值基本上在某個固定的水平上波動，雖然在不同的時間段波動的程度不同，但並不存在某種規律，其波動可以看做是隨機的。
非平穩序列（non-stationaryseries）是包含趨勢、季節性或週期性的序列，它可能只包含其中的一種成分，也可能是幾種成分的組合。因此，非平穩序列又可以分爲有趨勢的序列、有趨勢和季節性的序列、幾種成分混合而成的複合型序列。
時間序列中除去趨勢、週期性和季節性之後的偶然性波動，稱爲隨機性，也稱不規則波動。
由上可以得出，時間序列的成分可以分爲4種，即趨勢（T）、季節性或季節變動（S）、週期性或循環波動（C）、隨機性和不規則波動（I）。傳統時間序列分析的一項主要內容就是把這樣成分從時間序列中分離出來，並將它們之間的關係用一定的數學關係式予以表達，而後進行分析。按4中成分對時間序列的影響方式不同，時間序列可分解爲多種模型，如加法模型、乘法模型，其中較常用的是乘法模型。
下文所介紹的時間序列分解方法都是以乘法模型爲基礎的。

2 時間序列的描述性分析

1 圖形描述

通過對圖形的觀察和分析有助於作進一步的描述，併爲選擇預測模型提供基本依據。

2 增長率分析

增長率是對現象在不同時間的變化狀況所做的描述。由於對比的基期不同，增長率有不同的計算方法。
a. 增長率
也稱增長速度，是時間序列中報告期觀察值與基期觀察值之比減1後的結果，用%表示。由於對比的基期不同，增長率可以分爲環比增長率和定基增長率。
環比增長率是報告期觀察值與前一時期觀察值之比減1，說明現象逐期增長變化的程度。
定基增長率是報告期觀察值與某一固定時期觀察之比減1，說明現象在整個觀察時期內總的增長變化程度。
b. 平均增長率
平均增長率是時間序列總逐期環比值的幾何平均數減1後的結果。
G ¯ =(Y 1 Y 0  )(Y 2 Y 1  )...(Y n Y n−1  ) − − − − − − − − − − − − − − − −  √ n  
c. 增長率分析中應注意的問題
（1）當時間序列中的觀察值出現0或負數時，不宜計算增長率
（2）在某些情況下，不能單純就增長率論增長率，要注意增長率與絕對水平的結合分析。

3 時間序列預測的程序

在對時間序列進行預測時，通常包括以下幾個步驟：
（1）確定時間序列所包含的成分，也就是確定時間序列的類型。
（2）找出適合此類時間序列的預測方法。
（3）對可能的預測方法進行評估，以確定最佳預測方案。
（4）利用最佳預測方案進行預測

1 確定時間序列成分

判斷趨勢是否存在：
a. 繪製圖形，從圖上觀察
b. 利用迴歸分析擬合一條趨勢線，然後進行顯著性檢驗
確定季節成分是否存在：
繪製年度摺疊時間序列圖。該圖橫着只有一年的長度，每年的數據對於縱軸。

2 選擇預測方法

3 預測方法的評估

在選擇了某一種特定的方法進行預測時，需要評價該方法的預測效果或準確性。評價的方法就是找出預測值與實際值的差距，即預測誤差。最優的預測方法也就是預測誤差達到最小的方法。預測誤差的計算方法有平均誤差、平均絕對誤差、均方誤差、平均百分比誤差和平均絕對百分比誤差等。
a. 平均誤差
設時間序列的第i個觀測值爲Yi，預測值爲Fi
ME=∑ n i=1 (Y i −F i )n  
b. 平均絕對誤差
MAD=∑ n i=1 |Y i −F i |n  
c. 均方誤差
MSE=∑ n i=1 (Y i −F i ) 2 n  
d. 平均百分比誤差和平均絕對百分比誤差
MPE=∑ n i=1 Y i −F i F i  ×100n  
平均絕對百分比誤差用MAPE表示，其計算公式爲：
MAPE=∑ n i=1 |Y i −F i |F i  ×100n  
ME、MAD、MSE的大小受時間序列數據的水平和計量單位的影響，有時並不能真正反映預測模型的好壞，它們只有在比較不同模型對同一數據的預測時纔有用。而平均百分比誤差和平均絕對百分比誤差則不同，它們消除了時間序列數據的水平和計量單位的影響，反映誤差大小的相對值。
平均百分比誤差用MPE表示，其計算公式爲：

4 平穩序列的預測

平穩時間序列通常只含有隨機成分，其預測方法主要有簡單平均法、移動平均法和指數平滑法，這些方法主要通過對時間序列進行平滑以消除其隨機波動，因而也稱爲平滑法。平滑法既可用於對平穩時間序列進行短期預測，也可以用於對時間序列進行平滑加以描述序列的趨勢（包括線性趨勢和非線性趨勢）。

1 簡單平均法

簡單平均法是根據過去已有的t期觀察值通過簡單平均來預測下一期的數值。設時間序列已有的t期觀察值爲Y 1 ,Y 2 ,...,Y t   ，則t+1期的預測值爲：
F t+1 =1t (Y 1 +Y 2 +...+Y t )=1t ∑ t i=1 Y i  
缺點：（1）比較適合對較爲平穩的時間序列進行預測
（2）遠期和近期數值看作同等重要，但實際不是

2 移動平均法

移動平均法是通過對時間序列逐期遞移求得平均數作爲預測值的一種預測方法，包括簡單移動平均法和加權移動平均法。
簡單移動平均是將最近的k期數據加以平均，作爲下一期的預測值。設移動間隔爲k，則t期的移動平均值即t+1期的簡單移動平均預測值爲：
F t+1 =Y t  ¯ =Y t−k+1 +Y t−k+2 +...++Y t−1 +Y t k  

3 指數平滑法

指數平滑法是通過對過去的觀察值加權平均進行預測的一種方法，該方法使t+1期的預測值等於t期的實際觀察值與t期的預測值的加權平均。指數平滑法是加權平均的一種特殊形式，觀察時間越遠，其權數也跟着呈指數下降。指數平滑法有一次指數平滑、二次指數平滑、三次指數平滑等。
一次指數平滑是以前期的預測值與觀察值的線性組合作爲t+1期的預測值，其預測模型爲：
也可寫成以下形式：
F t−1 =αY t +(1−α)F t  
F t   位t  期實際觀察值，F t   爲T  期預測值，α爲平滑系數 
使用指數平滑時，關鍵的問題是確定一個合適的平滑係數α。一般而言，當時間序列有較大的隨機波動時，宜選用較大的α，以便能跟上近期的變化；當時間序列比較平穩時，宜選用較小的α。

5 趨勢型序列的預測

時間序列的趨勢可以分爲線性趨勢和非線性趨勢兩大類。有趨勢序列的預測方法主要有線性趨勢預測、非線性趨勢預測和自迴歸模型預測。

1 線性趨勢預測

線性趨勢是指現象隨着時間的推移而呈現出的穩定增長或下降的線性變化趨勢。

2 非線性趨勢預測

若序列呈現出某種非線性趨勢，則需要擬合適當的趨勢曲線。常用的趨勢曲線有：
A. 指數曲線
參數求法：先求對數，再根據線性迴歸中的最小二乘法求得
B. 修正指數曲線在一般指數曲線的基礎上增加一個常數K
參數求法：三和法
基本思路：將時間序列觀察值等分爲3個部分，每部分有m個時期，從而根據預測值的3個局部總和分別等於原序列觀測值的3個局部總部來確定3個係數
C. Gompertz曲線
趨勢方程爲：
Y t  ^ =Kb b t 1  0  
式中K、b 0 、b 1   爲待定係數，K>0,0<b 0 ≠1,0<b 1 ≠1 
現象特點：初期增長緩慢，以後逐漸加快，當達到一定程度後，增長率又逐漸下降，最後接近一條水平線。
參數求法：求對數，再參數修正指數曲線的方法
D. 多階曲線
K階曲線函數的一般形式爲：
Y t  ^ =b 0 +b 1 t+b 2 t 2 +...+b k t k  
係數求法：將上述形式線性化，即可按多元迴歸分析中的最小二乘法來求得。

6 複合型序列的分解預測

複合型序列是指含有趨勢、季節、週期和隨機成分的序列。對這類序列的預測方法通常是將時間序列中的各個元素依次分解出來，然後再進行預測。由於週期成分的分析需要有多年的數據，較難獲得，下文采用的分解模型爲：Yt=Tt×St×It。這一模型表示時間序列中含有趨勢成分、季節成分和隨機成分。對這類序列的預測方法主要有季節性多元迴歸模型、季節性自迴歸模型和時間序列分解法預測等。
下文主要介紹時間序列分解法預測，其預測步驟一般爲：
（1） 確定並分離季節成分
（2） 建立預測模型並進行預測
（3） 計算最後的預測值

1 確定並分離季節成分

季節性因素分析是通過季節指數來表示各年的季節成分，依次來描述各年的季節變動模式。
A. 計算季節指數
季節指數刻畫了序列在一個年度內各月份或季度的典型季節特徵。在乘法模型中，季節指數是以其平均數等於100%爲條件構成的，它反映了某一月份或季度的數值佔全年平均數值的大小。季節變動的程度是根據各季節與其平均數（100%）的偏差程度來測定的。
季節指數的計算方法有多種，其中移動平均趨勢剔除法的基本步驟爲：
第一步：求出中心化移動平均值
第二步：計算季節比率。將序列的各觀察值除以相應的中心化移動平均值
第三步：季節指數調整。將第二步的每個季節的平均值除以它們的總平均值
B. 分離季節性成分
將各實際觀察值分別除以相應的季節指數，將季節性成分從時間序列中分離出去。

2 建立預測模型並進行預測

按趨勢型序列進行建模預測

3 計算最後的預測值

將回歸預測值（上步得到的）乘以相應的季節指數，即得到最後的預測值