第五章 隨機事件及其概率

1 隨機事件及其概率

試驗、事件
隨機事件（偶然事件）、必然事件、不可能事件
概率

2 概率的性質與運算法則

互斥事件：事件A和時間B不可能同時發生，P(A∪B)=P(A)+P(B)  乘法公式：P(AB)=P(B)P(A|B) 
當兩個事件獨立時，P(AB)=P(B)P(A) 
一般情形，設n個事件A 1 ,A 2 ,...,A n   互不相容，P(A i )>(i=1,2,...,n)  ,事件B滿足：B⊂A 1 +A 2 +...+A n   ，則
P(B)=∑ n i=1 P(A i )P(B|A i ) 
上式稱爲全概率公式。
全概率的直觀意義是：某一事件B  的發生有各種可能的原因A i (i=1,2,...,n)  ，如果B  是由原因A i   所引起的，則B  發生的概率是P(A i B),(i=1,2,...,n)  。每一A i   發生都可能導致B  發生相應概率是P(A i |B)  ，故B  發生的概率爲：
P(B)==∑ n i=1 P(A i B)=∑ n i=1 P(A i )P(B|A i ) 
與全概率公式解決的問題想法，貝葉斯公式是在條件概率的基礎上尋找事件發生的原因，其公式敘述如下：
設n個事件A 1 ,A 2 ,...,A n   互不相容，P(A i )>(i=1,2,...,n)  ,事件B滿足：B⊂A 1 +A 2 +...+A n   ，則
P(A i |B)=P(A i )P(B|A i )∑ n j=1 P(A j )P(B|A j )  

3 離散型隨機變量及其分佈

期望
方差:σ²=D(X)=E[X-E(X)]²=E(X²)-[E(X)]²
二項分佈：E(X)=np D(X)=npq
泊松分佈：用來描述在一指定時間範圍內或在指定的面積或體積之內某一事件出現的次數的分佈
P(X)=λ n e −λ n! λ=0,1,2,... 
式中，λ  爲給定時間間隔內的事件的平均數
E(X)=λ，D(X)=λ

4 連續型隨機變量的概率分佈

1 概率密度 f(x)

2 分佈函數

3 正態分佈

正態分佈的定義及特點
標準正態分佈
正態分佈表
3σ準則
|X-μ|>3σ的概率是很小的，可以認爲X的值幾乎一定落在區間(μ-3σ,μ+3σ)內，這在全面質量管理中稱作“3σ準則”。
二項分佈的正態近似