時間：2014.09.06
地點：基地
一、問題描述
給定一個十進制正整數N，從1，2，... ，N ，求出所有出現1的個數。比如N=12時，有 1 10 11 12三個數中有1出現，出現次數爲5次，返回結果爲5 。
二、分析
1.暴力法
一般暴力法都比較容易想到，雖然效率上不是很好，但往往能從暴力法中發現一些規律或技巧，所以暴力法還是值得思考的。
首先想到真對某一個數字統計1的個數問題，即是不斷的將數字右移，看最低位是否爲1，這個問題解決後，剩下的問題就是對數據集的每一個數字進行一次遍歷，統計1的總數的簡單問題了。
對於十進制數字右移有一些常用的常識，值得好好加以利用，雖然說是常識，但一不小心容易出錯。
第一條：十進制數字N每右移一位，即是將該十進制數字除以10，每左移移位即是將該十進制數字乘以10。這種技巧在二進制數字表達方式也是如此，二進制數字右移即除以2，左移即乘以2，不過對於二進制而言，有效率更高的移位操作。
第二條：獲取一個十進制數字的最低位即是將該十進制數字模10。在二進制數字中也一樣，不過那裏更爲人所知的是換了一種說法，模2看奇偶性，模2結果有兩種，爲1則最低位爲1，爲奇數，模2結果爲0則最低位爲0，爲偶數。
暴力法只涉這兩條，看十進制數字最低位，因此不斷地右移看最低位即可。代碼如下：
static int get_ones_count(int n)
{
int count = 0;
while (n != 0)
{
count += (n % 10 == 1) ? 1 : 0;
n /= 10;
}
return count;
}
int GetTotalOnes(int N)
{
int count = 0;
for (int i = 1; i <= N; ++i)
{
count += get_ones_count(i);
}
return count;
}2.深入分析
淺層分析只能得暴力法，粗暴而不給力，如果能利用數字之間的一些規律和信息，變能更有效的解決問題。《編程之美》裏有談論到這個問題的分析，但我更喜歡傾向於藉助高中數學裏的排列組合知識，雖然道理大致相同，但更容易理解，思路如下：
對於一個十進制正整數數不妨設其表示爲N=123x56，百位用x表示，目的是統計集合[ 1，2，...... 123x56 ]中1的個數，將集合中每個數字都用0補齊爲6位數，對結果毫無影響，於是接下來的工作就是統計該集合中所有數的個位、十位、百位、...爲1的情況。假設此時要統計百位爲1的情況。即問題轉換爲：集合中百位爲1且比123x56小的問題。
第一種情況：N的百位x=0，那麼在集合中數的模式爲，百位以上部分可取【000,001，...,122】均可，共123中情況，百位固定（因爲正是要統計百位爲1的情況），百位一下的位沒一位都有10中情況，組合起來即122*10*10種。於是總結爲：
若給定十進制整數中目標位爲0，則所有數中該位上1的個數爲：
目標位高位數字*（10^目標位以下數字的位數）
第二種情況：N的百位x=1，首先上面情況包含在其中，即高位部分取【000,001,...,122】時和上面情況一一樣，另外，當取123也還有部分滿足，這一部分表現爲低位取【00,01，...56】。於是可總結爲：
若給定十進制整數中目標位爲0，則所有數中該位上1的個數爲：
目標位以上的高位數字*（10^目標位以下數字的位數）+目標位以下的低位數字+1
第三種情況：N的百位爲x>1，則更加容易分析，即高位部分取【000,001,002,......123】供，123中情況，低位可能依舊。於是可總結爲：
若給定十進制整數中目標位大於1，則所有數中該位上1的個數爲：
（目標位以上的高位數字+1）*（10^目標位以下數字的位數）
有了這些分析，代碼很容易寫出：
static int get_ones_count(int n)
{
int count = 0;
while (n != 0)
{
count += (n % 10 == 1) ? 1 : 0;
n /= 10;
}
return count;
}
int GetTotalOnes(int N)
{
int count = 0;
for (int i = 1; i <= N; ++i)
{
count += get_ones_count(i);
}
return count;
}第四條：獲得一個十進制數字的高位部分即用該數字右移。