统计学4

中心极限定理
中心极限定理是最基础、意义最重大的概念之一。根据该定理，任意良好定义了均值和方差的分布，不管该分布是连续还是离散的，随着样本容量增大，所有样本和或者样本均值或者众数极差等统计量都符合正态分布。

样本均值的抽样分布
抽样分布来自于原分布，这里我们求的是样本均值，由原分布的样本得到。
比如，下图的离散概率分布，可以看出不可能是正态分布

下面我们取该随机变量的样本，求其平均值，然后看其平均值的频率。
假设样本容量是4，第一次取样{1 1 3 6}，平均值为2.75；第二次取样{3 4 3 1}，平均值为2.75；第三次取样{1 1 6 6}，平均值为3.5。我们要进行很多次抽样，然后对每次的4个样本值进行平均。将所有平均值画到一个频率分布中，可以得到一个正态分布，其均值μx¯ 和原分布的均值μ 基本一样。如果样本容量增大，则正态分布的均值不变，但标准差、峰度和偏度比原来更小了，更近似于正态分布。因为样本容量n越大，越难取到概率低的样本，所以样本均值的分布会更有可能趋近于原分布的均值。比如每次取100万个样本值，此时的样本均值是总体均值的很好估计，样本均值μx¯ 都会落在靠总体均值μ 很近的地方。

假设n=1，也就是一次抽取一个值，平均值也是它本身。这时不管进行多少次试验，都不会像正态分布，因为永远也取不到2和5。所以随着n趋于∞ 时，样本均值的抽样分布趋于完美正态分布。其实n=10或15已经很接近正态分布了。



其实样本均值的抽样分布的方差σ2x¯ 与原分布的方差σ2 之间的关系也有公式，即σ2x¯=σ2n 。这显然取决于样本容量的大小，样本容量与样本均值分布的方差是反向关系。
样本均值抽样分布的标准差σx¯ 通常称作均值标准误差。


n=16时，验证σx¯ =9.3/4=2.325
n=25时，验证σx¯ =9.3/5=1.86