統計學3

正態分佈
這一節我們將講統計學中最重要的概念，甚至是任何科學領域中最重要的概念，因爲它在生活中無處不在，就是正態分佈，或者叫高斯分佈或鐘形曲線。

使用Excel可以說明，二項分佈在試驗次數足夠時會很接近正態分佈。從圖中可以看出均值爲100*0.3=30。注意K=60~100概率極低但也不爲0。

正態分佈的概率密度函數圖像

概率密度函數f(x)=12π√σe−12(x−μσ)2 ，其中x−μσ 表示x離均值有多少個標準差那麼遠，這又稱作標準z分數。注意，不只是正態分佈，任何分佈都有z分數，只要知道均值和標準差。

連續隨機變量x在[a,b]上的概率P(X)=∫baf(x)dx ，且正態分佈在整個實數軸上都有意義，∫∞−∞f(x)dx=1 。

比如拋硬幣的例子（二項分佈）中，均值爲10*0.5，方差爲10*0.5*0.5。P(X=2)=0.04395 。

用正態分佈的概率公式計算P(1.5≤X≤2.5)=12π√∗1.58e−12(2−51.58)2×1≈0.0417 （x=2的概率爲高，寬爲1的長方形面積，即積分的的近似），和二項分佈求得的概率幾乎相等，差距是0.00224。
如果試驗次數更多，還會更接近，如下圖試驗15次，差距是0.00045。

中心極限定理：拋硬幣的例子中，如果拋的足夠多且每次試驗相互獨立，其如果正面，隨機變量爲1，如果反面爲0。那麼所有隨機變量的和在拋擲次數趨於無窮時，趨於正態分佈。有趣的是每次拋擲試驗並非正態分佈，但結果卻得到正態分佈。

正態分佈的概率密度公式也可以改寫成
f(x)=12π√σe−12(x−μσ)2=12πσ2√(e(x−μσ)2)−12=12πσ2ez2√ ，其中x−μσ=z 。

正態分佈的圖像受均值和標準差影響



正態分佈的積累分佈函數F(x)=∫x−∞f(x)dx ，圖像如下圖。

F(2)表示小於2的概率是多少。F(1)-F(-1)表示-1到1之間的概率是多少。

哪些是正態分佈？
1、某高中學生的拇指到小指的長度——近似於正態分佈
2、某大型公司所有員工的工資——右偏態分佈，又叫正偏態分佈（尾部右側延伸），也屬於一種雙峯分佈

3、收銀抽屜裏100枚硬幣的日期——左偏態分佈，又叫負偏態分佈（尾部左側延伸）

右偏態分佈：均值在中位數右邊
左偏態分佈：均值在中位數左邊（均值將曲線下方面積分成相等的兩部分，中位數是從小到大序列中最中間的數，因爲左側無限延伸，所以均值在中位數左邊）

下面介紹經驗法則，又稱68-95-99.7法則。在實際應用上，常考慮一組數據具有近似於正態分佈的概率分佈。若其假設正確，則約 68% 數值分佈在距離平均值有 1 個標準差（|z|≤1 ）之內的範圍，約 95% 數值分佈在距離平均值有 2 個標準差（|z|≤2 ）之內的範圍，以及約 99.7% 數值分佈在距離平均值有 3 個標準差（|z|≤3 ）之內的範圍。

最後講兩個正態分佈的衡量指標——偏度和峯度。
如果是對稱的正態分佈，則偏度爲0。如果偏度爲正，則說明右側尾部較長，得到正偏態分佈，不是理想的正態分佈。如果偏度爲負，則說明左側尾部較長。
峯度越大，正峯態會比實際正態分佈尖的越厲害，而負峯態中間更平滑。