矩阵总结

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常用概念

（1）dimV：线性空间中，线性无关向量的最大个数（矩阵的秩）
（2）N（A）：矩阵零空间：AX=0的X的解空间
（3）span{c1,c2,c3….}：矩阵列空间
（4）奇异矩阵：矩阵的行列式为0
（5）det（A）=|A|：A的行列式的值
（6）tr（A）：矩阵A的迹，对角线的值

trA=a11+a22+....ann
矩阵tr的性质：
(1) b1+b2+…+bn=trA
(2)b1b2…*bn=detA 其中：其中b1,b2,…,bn为矩阵A的特征值

（7）diag{r1,r2,…rn}:由r1，r2…rn组成的对角阵
（8）欧式空间：实数空间 U空间：包含复数的空间

转置：欧式空间的转置为T，U空间转置为H
对称矩阵：欧式空间中，AT=A 为对称矩阵，在U空间中表达为AH=A ,称为Hermite阵

（9）奇异值：AHA 的所有特征值开根号，即为奇异值，应用在奇异值分解里面
（10）

几种不同的矩阵

• 奇异矩阵：矩阵的行列式为0
• 正交阵（U阵）：AAT=ATA=E ,即AT=A−1

根据矩阵的乘法:cij=∑nk=1aikbkj=∑nk=1aikajk (因为bkj=ajk )
根据上面可以得出，正交阵的性质：
（1）同行的乘积之和为1
（2）异行的乘积之和为0
对于欧式空间（实数空间）表达式：QTQ=I
对于U空间（复数空间）表达式：UHU=I
任何一个矩阵U相似于上三角阵：UHAU=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢λ1λ2...∗λn⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥

• 对称矩阵（Hermite阵）：AH=A
• 正规阵：AAH=AHA
  正规阵的性质：U相似于对角形矩阵
  对称矩阵和正规阵的性质：
  （1）不同特征值的特征向量相互正交
  （2）可U对角化（只有正规阵才可U对角化）
  因此U对角化的条件：正规阵
• 奇异矩阵，非奇异矩阵（满秩矩阵）
• 奇异矩阵R（A）< n
• 正定阵
  f(X)是二次型矩阵，对于任意的X，都有
  f(X)=XTAX>0
  则f成为正定二次型，A成为正定阵
  半正定阵
  f(X)=XTAX>=0

方程用矩阵表示

• 一次线性方程
  f(x)=∑bixi=bTX

• 二次齐次方程（只有二次项）
  f(x)=∑ni=1∑nj=1Aijxixj

• 二次方程的表示
  f(x)=XTAX+bTX+c
  其中第一项表示二次的项，第二项表示一次项，第三项表示常数项
  方程的梯度计算的常用公式(通过求梯度就可以求得其全微分)
  全微分=梯度 x dx
  eg:
  dz=fxdx+fydy=(fx,fy)T(dx,dy)
  一次微分： 雅克比行列式
  二次微分： Hessian 行列式

对角化

• 相似对角化

表达式：
A=Q−1diag{λ1,λ2,...λn}Q
条件(满足一个即可)：
（1）A有n个线性无关的特征向量
（2）mA(λ) 无重根
（3）
求解过程
1）令 |A−λI|x=0 ，求出特征值和特征向量a1,a2,...an
2）P=(a1,a2,...an) 即为特征矩阵
3）最后A=P−1AP

• U对角化

表达式：
A=U^{-1}diag{\lambda_1,\lambda_2,…\lambda_n}U
条件(满足一个即可)：
（1）A有n个线性无关的特征向量
（2）mA(λ) 无重根
并且A是正规阵（包括对称矩阵）
求解过程
1）令 |A−λI|x=0 ，求出特征值和特征向量a1,a2,...an
2）P=(a1,a2,...an) 即为特征矩阵
3）将P化为simth标准型U
4）最后A=U−1AU

• 二次型对角化

表达式：
B=diag{a1,a2,..an}=CTAC
将矩阵A转化为一个对角形 （左边一个行变换，右边一个相同的列变化，转化为对角形）
条件(满足一个即可)：
（1）A为对称矩阵
并且A是正规阵（包括对称矩阵）
求解过程
3.1 U相似对交互即可