圖像去模糊（約束最小二乘方濾波）

引言

這是圖像去模糊的第三篇，接着上節說道逆濾波對噪聲特別敏感。約束最小二乘方濾波（Constrained Least Squares Filtering，aka Tikhonov filtration,Tikhonov regularization）核心是H對噪聲的敏感性問題。減少噪聲敏感新問題的一種方法是以平滑度量的最佳復原爲基礎的，因此我們可以建立下列約束條件：

C=∑0M−1∑0N−1[∇2f(x,y)]2(1)

其約束條件爲

||G−HF^||22=||N||22(2)

這裏，F^ 是爲退化圖像的估計，N 爲加性噪聲，拉普拉斯算子∇2 在這裏表示平滑程度。

推導

如何求解這個式子呢，將上式表示成矩陣形式，同時將約束項轉換成拉格朗日乘子項，可得到

||PF^||22−λ(||G−HF^||22−||N||22)(3)

最小化上代價函數，對F^ 求導，令等零。

P∗PF^=λH∗(G−HF^)(4)

最後可得到，下列式子

F^=λH∗GλH∗H+P∗P=[H∗||H||22+γ||P||22]G(5)

這裏，P 是函數

p=⎡⎣⎢0−10−14−10−10⎤⎦⎥(6)

的傅里葉變換。其實這就是那個拉普拉斯模板嘛。
嗯，和書上的公式一模一樣，這就證明我們求解對了。
好了，我又可以重新造輪子了。

代碼

close all;
clear all;
clc;
% Display the original image.
I = im2double(imread('lena.jpg'));
[hei,wid,~] = size(I);
subplot(2,3,1),imshow(I);
title('Original Image (courtesy of MIT)');


% Simulate a motion blur.
LEN = 21;
THETA = 11;
PSF = fspecial('motion', LEN, THETA);
blurred = imfilter(I, PSF, 'conv', 'circular');
subplot(2,3,2), imshow(blurred); title('Blurred Image');

% Inverse filter
If = fft2(blurred);
Pf = psf2otf(PSF,[hei,wid]);
deblurred = ifft2(If./Pf);
subplot(2,3,3), imshow(deblurred); title('Restore Image')

% Simulate additive noise.
noise_mean = 0;
noise_var = 0.00001;
blurred_noisy = imnoise(blurred, 'gaussian', ...
                        noise_mean, noise_var);
subplot(2,3,4), imshow(blurred_noisy)
title('Simulate Blur and Noise')

% Try restoration using  Home Made Constrained Least Squares Filtering.
p = [0 -1 0;-1 4 -1;0 -1 0];
P = psf2otf(p,[hei,wid]);

gama = 0.001;
If = fft2(blurred_noisy);

numerator = conj(Pf);
denominator = Pf.^2 + gama*(P.^2);

deblurred2 = ifft2( numerator.*If./ denominator );
subplot(2,3,5), imshow(deblurred2)
title('Restoration of Blurred Using Constrained Least Squares Filtering');

subplot(2,3,6); imshow(deconvreg(blurred_noisy, PSF,0)); title('Regul in Matlab');

依次是原圖，運動模糊圖像，逆濾波結果，運動模糊+高斯噪聲，Home Made 約束最小二乘方濾波（γ=0.001，交互設置 ），Matlab自帶的去模糊deconvreg函數。

效果

嗯，可以看出我們做出來的約束最小二乘方濾波效果非常不錯的（多虧我調的一手好參）。這裏的γ 是我自己手工設置的，也是多次嘗試，以產生最好的視覺效果。我個人建議γ 設置成0.001左右會有比較好的效果。一般的說法是，約束最小二乘方濾波對高噪聲和中等噪聲產生結果要好於維納濾波，對於低噪聲兩種濾波產生結果基本相等。手工選取參數時效果會更好一些。
其實γ 可以迭代最優化，Matlab自帶的函數deconvreg即是如此，這樣可以實現最佳復原算法，聽起來不錯。

迭代計算γ

定義一個“殘差”向量R 爲

R=G−HF^(8)

而F^=[H∗||H||22+γ||P||22]G ，我們需要最小化下列代價函數

ϕ(γ)=RTR=||R||22=trace(RTR)(9)

這裏我們需要明白的是R 是向量形式。將(5)式帶入(9)中，最後得到

ϕ(γ)=γ2||G||22||P||42||H||42+2γ||H||22||P||22+γ2||P||42(10)

對於這個單變量函數，求其極小值可以藉助於matlab的fminbnd函數。
好了，這個系列已經接近尾聲了，可能就不在寫了。如果還有疑惑可以看一下matlab中deconvreg.m源文件。
還有關於實際運用需要估計核PSF，關於PSF的估計可以參看RESTORATION OF DEFOCUSED AND BLURRED IMAGES。上述介紹的都是比較傳統的方法，關於盲區卷積，可以在網上用谷歌搜索Deblur最近幾年發表的文章。

效果

更多閱讀

RESTORATION OF DEFOCUSED AND BLURRED IMAGES http://yuzhikov.com/articles/BlurredImagesRestoration1.htm
圖像去模糊 （維納濾波）http://blog.csdn.net/bluecol/article/details/46242355
圖像去模糊（逆濾波）http://blog.csdn.net/bluecol/article/details/47357717
數字圖像處理（第三版） 岡薩雷斯著 chapter 5，圖像復原與重建
MathLab source code, deconvreg.m

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作者	日期	聯繫方式
風吹夏天	2015年8月8日	[email protected]