康拓展開 & 逆康拓展開

題目：給出n個互不相同的字符, 並給定它們的相對大小順序,這樣n個字符的所有排列也會有一個順序.?現在任給一個排列,求出在它後面的第i個排列.這是一個典型的康拓展開應用，首先我們先闡述一下什麼是康拓展開。

（1）康拓展開

　　所謂康拓展開是指把一個整數X展開成如下形式：

　　X=a[n]*(n-1)!+a[n-1]*(n-2)!+...+a[i]*(i-1)!+...+a[2]*1!+a[1]*0!。（其中，a爲整數，並且0<=a[i]<i(1<=i<=n)）

（2）應用實例

　　{1,2,3,4,...,n}表示1,2,3,...,n的排列如 {1,2,3} 按從小到大排列一共6個：123 132 213 231 312 321。他們間的對應關係可由康託展開來找到。

　　1324是{1,2,3,4}排列數中第幾個大的數：

　　第一位是1小於1的數沒有，是0個 0*3! ；

　　第二位是3小於3的數有1和2，但1已經在第一位了，即1未出現在前面的低位當中，所以只有一個數2 1*2! ；

　　第三位是2小於2的數是1，但1在第一位，即1未出現在前面的低位當中，所以有0個數 0*1! ；

　　所以比1324小的排列有0*3!+1*2!+0*1!=2個，1324是第三個大數。

代碼實現：

int kt(int s[],int n)//n表示該排列有n個數
{
    int sum = 0;
    for(int i = 0; i < n; i++)
    {
        int temp = 0;
        for(int j = i + 1; j < n; j++)
          if(s[j] < s[i])
             temp ++;
        sum += f[n - 1 - i] * temp;//f[n]表示n的階乘
    }
    return sum + 1;
}

練習：http://acm.nyist.net/JudgeOnline/problem.php?pid=139

康託展開的逆運算：

{1,2,3,4,5}的全排列已經從小到大排序，要找出第16個數：

1. 首先用16-1得到15

2. 用15去除4! 得到0餘15

3. 用15去除3! 得到2餘3

4. 用3去除2! 得到1餘1

5. 用1去除1! 得到1餘0

有0個數比它小的數是1

所以第一位是1

有2個數比它小的數是3，但1已經在之前出現過了所以是4

有1個數比它小的數是2，但1已經在之前出現過了所以是3

有1個數比它小的數是2，但1,3,4都出現過了所以是5

最後一個數只能是2

所以這個數是14352

代碼實現：

void kt(int sum,int n)
{
    int i, j, s[5];
    bool v[5]={0};
    sum--;
    for(i = 0;i < n; i++)
    {
        int t = sum / f[n - 1 - i];//f[n]表示n的階乘
        for(j = 0; j < n; j++)
        {
            if(!v[j])
            {
                if(t == 0) break;
                t --;
            }
        }
        s[i] = j;
        v[j] = 1;
        sum %= f[n - 1 - i];
    }
}

練習：http://acm.nyist.net/JudgeOnline/problem.php?pid=143