特徵向量的幾何意義

原創

2018-09-04 23:38

特徵向量確實有很明確的幾何意義，矩陣(既然討論特徵向量的問題，當然是方陣，這裏不討論廣義特徵向量的概念，就是一般的特徵向量)乘以一個向量的結果仍是同維數的一個向量，因此，矩陣乘法對應了一個變換，把一個向量變成同維數的另一個向量，那麼變換的效果是什麼呢？這當然與方陣的構造有密切關係，比如可以取適當的二維方陣，使得這個變換的效果就是將平面上的二維向量逆時針旋轉30度，這時我們可以問一個問題，有沒有向量在這個變換下不改變方向呢？可以想一下，除了零向量，沒有其他向量可以在平面上旋轉30度而不改變方向的，所以這個變換對應的矩陣(或者說這個變換自身)沒有特徵向量(注意：特徵向量不能是零向量)，所以一個變換的特徵向量是這樣一種向量，它經過這種特定的變換後保持方向不變，只是進行長度上的伸縮而已(再想想特徵向量的原始定義Ax= cx,你就恍然大悟了,看到了嗎？cx是方陣A對向量x進行變換後的結果，但顯然cx和x的方向相同)，而且x是特徵向量的話，ax也是特徵向量(a是標量且不爲零)，所以所謂的特徵向量不是一個向量而是一個向量族，另外，特徵值只不過反映了特徵向量在變換時的伸縮倍數而已，對一個變換而言，特徵向量指明的方向纔是很重要的，特徵值不是那麼重要，雖然我們求這兩個量時先求出特徵值，但特徵向量纔是更本質的東西！

比如平面上的一個變換，把一個向量關於橫軸做鏡像對稱變換，即保持一個向量的橫座標不變，但縱座標取相反數，把這個變換表示爲矩陣就是[1 0;0 -1]，其中分號表示換行，顯然[1 0;0 -1]*[a b]'=[a -b]',其中上標'表示取轉置，這正是我們想要的效果，那麼現在可以猜一下了，這個矩陣的特徵向量是什麼?想想什麼向量在這個變換下保持方向不變，顯然，橫軸上的向量在這個變換下保持方向不變(記住這個變換是鏡像對稱變換，那鏡子表面上(橫軸上)的向量當然不會變化)，所以可以直接猜測其特徵向量是 [a 0]'(a不爲0)，還有其他的嗎？有，那就是縱軸上的向量，這時經過變換後，其方向反向，但仍在同一條軸上，所以也被認爲是方向沒有變化，所以[0 b]'(b不爲0)也是其特徵向量，去求求矩陣[1 0;0 -1]的特徵向量就知道對不對了!