HDU 6427 Problem B. Beads（polya+數論+素因子分解Pollard-rho）

Description

用m$m$ 種顏色給一串長度爲n$n$ 的項鍊染色，旋轉和翻轉視作一種方案，且顏色平移也視爲一種方案，問染色方案數

Input

第一行一整數T$T$ 表示用例組數，每組用例輸入兩個整數n,m$n,m$

(1≤T≤30,3≤n≤1018,2≤m≤1018,n,m/|998244353)$(1\le T\le 30,3\le n\le {10}^{18},2\le m\le {10}^{18},n,m\text{⧸}|998244353)$

Output

輸出染色方案數，結果模998244353$998244353$

Sample Input

5
3 2
4 2
8 5
9 5
2333 333

Sample Output

2
4
5079
22017
544780894

Solution

polya$polya$ ，變換羣大小爲2nm$2nm$ ，對於旋轉和顏色平移的nm$nm$ 個變換，若一個染色方案能夠在顏色平移爲g$g$ （即1$1$ 顏色變成g$g$ 顏色），旋轉平移爲d$d$ （即1$1$ 位置移動到d$d$ 位置）後不變，那麼從1$1$ 走回1$1$ 的這ngcd(d,n)$\frac{n}{gcd(d,n)}$ 個位置，其顏色必然要整數次從1$1$ 變成1$1$ ，而1$1$ 顏色變回1$1$ 顏色至少需要mgcd(g,m)$\frac{m}{gcd(g,m)}$ 次，故這nm$nm$ 個變換下不變的染色方案數爲

∑d=1nmgcd(d,n)∑g=1m[mgcd(g,m)|ngcd(d,n)]===∑d|nφ(d)mnd∑g|mφ(g)[g|d]∑d|nφ(d)mnd∑g|gcd(d,m)φ(g)∑d|nφ(d)mndgcd(d,m)$$\begin{array}{lcl}\sum _{d=1}^n{m}^{gcd(d,n)}\sum _{g=1}^m[\frac{m}{gcd(g,m)}|\frac{n}{gcd(d,n)}]& =& \sum _{d|n}\phi (d)m^{\frac{n}{d}}\sum _{g|m}\phi (g)[g|d]\\ & =& \sum _{d|n}\phi (d)m^{\frac{n}{d}}\sum _{g|gcd(d,m)}\phi (g)\\ & =& \sum _{d|n}\phi (d)m^{\frac{n}{d}}gcd(d,m)\end{array}$$

對於翻轉和顏色平移的nm$nm$ 個變換

1.n$n$ 爲奇數，那麼翻轉軸爲一個位置和一箇中點構成，此時該位置顏色不能變化，故顏色變換隻能爲恆同，在翻轉下不變的染色方案數爲n⋅mn+12$n\cdot m^{\frac{n+1}{2}}$

2.n$n$ 爲偶數，那麼翻轉軸有兩種，第一種是連接兩個位置，此時這兩個位置顏色也不能變換，顏色變化只能爲恆同，在該類變換下不變的染色方案數爲n2⋅mn2+1$\frac{n}{2}\cdot m^{\frac{n}{2}+1}$ ；第二種是連接兩個中點，此時若m$m$ 爲偶數，那麼此時顏色變換可以爲恆同也可以爲顏色平移m2$\frac{m}{2}$ ，若m$m$ 爲奇數則顏色變換隻能恆同，故在該類變換下不變的染色方案數爲gcd(2,m)⋅n2⋅mn2$gcd(2,m)\cdot \frac{n}{2}\cdot m^{\frac{n}{2}}$

累加以上三個值之後除以2nm$2nm$ 即可，注意n$n$ 比較大所以要用Pollard_rho$Pollard\mathrm{\_}rho$ 算法分解質因數

Code

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<map>
#include<ctime>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef long double ld;
typedef pair<ll,int>P;
#define maxn 200001
#define mod 998244353
int mul(int x,int y)
{
    ll z=1ll*x*y;
    return z-z/mod*mod;
}
int add(int x,int y)
{
    x+=y;
    if(x>=mod)x-=mod;
    return x; 
}
int Pow(ll x,ll y)
{
    x%=mod,y%=(mod-1);
    int ans=1;
    while(y)
    {
        if(y&1)ans=mul(ans,x);
        x=mul(x,x);
        y>>=1;
    }
    return ans;
}
ll gcd(ll a,ll b)
{
    return b?gcd(b,a%b):a;
}
ll Mul(ll a,ll b,ll c)
{
    return (a*b-(ll)(a/(ld)c*b+1e-3)*c+c)%c;
}
ll Pow(ll a,ll b,ll c)
{
    ll ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)ans=Mul(ans,a,c);
        a=Mul(a,a,c);
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
int cnt=12,prime[]={2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37};
bool isprime(ll x)
{
    if(x==2)return 1;
    if(x==1||!(x&1))return 0;
    ll k=x-1,t=0;
    for(;!(k&1);k>>=1)t++;
    for(int i=0;i<cnt&&prime[i]<x;i++) 
    {
        ll g=Pow(prime[i],k,x);
        for(int j=0;j<t;j++)
        {
            ll g0=Mul(g,g,x);
            if(g0==1&&g!=1&&g!=x-1)return 0;
            g=g0;
        }
        if(g!=1)return 0;
    }
    return 1;
}
vector<ll>pf;
vector<P>fact;
ll F(ll t,ll x,ll c)
{
    return (Mul(t,t,x)+c)%x;
}
void pollardRho(ll x)
{
    if(isprime(x)) 
    {
        pf.push_back(x);
        return;
    }
    while(1) 
    {
        ll c=rand()%(x-1)+1,p=rand()%x,q=F(p,x,c);
        while(p!=q) 
        {
            ll d=gcd(x,abs(p-q));
            if(d!=1)
            {
                pollardRho(d);
                pollardRho(x/d);
                return;
            }
            p=F(p,x,c);q=F(F(q,x,c),x,c);
        }
    }
}
void Deal(ll x)
{
    pf.clear();
    fact.clear();
    pollardRho(x);
    sort(pf.begin(),pf.end());
    for(int i=0;i<pf.size();i++)
    {
        int temp=1;
        while(i<pf.size()-1&&pf[i]==pf[i+1])i++,temp++;
        fact.push_back(P(pf[i],temp));
    }
}
int T,ans;
ll n,m;
void dfs(int pos,ll d,ll phi)
{
    if(pos==fact.size())
    {
        ans=add(ans,mul(mul(phi%mod,Pow(m,n/d)),gcd(d,m)%mod));
        return ;
    }
    dfs(pos+1,d,phi);
    ll x=fact[pos].first;
    d*=x,phi*=x-1;
    for(int i=1;i<=fact[pos].second;i++)
    {
        dfs(pos+1,d,phi);
        d*=x,phi*=x;
    }
}
int main()
{
    srand(time(0));
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%lld%lld",&n,&m);
        Deal(n);
        ans=0;
        if(n&1)ans=mul(n%mod,Pow(m,n/2+1));
        else 
        {
            ans=mul(n/2%mod,Pow(m,n/2+1));
            ans=add(ans,mul(mul(gcd(m,2),n/2%mod),Pow(m,n/2)));
        }
        dfs(0,1,1);
        ans=mul(ans,Pow(mul(2,mul(n%mod,m%mod)),mod-2));
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}