离散化实现|bug分析及解决

离散化：

对于一些应用实例，有时只会用到数据的相对大小，而不在意数据本身的大小

例：在区间涂色问题中，依次给区间涂色，后涂色的区间会覆盖前区间。现在求剩下几种颜色

可以发现，这个问题中，有用的就只是区间的相对位置关系，而不在于区间本身的大小。如：

[1, 3] 涂白色，[6, 7] 涂黑色

[1, 3] 涂白色，[10000006, 10000007] 涂黑色

最后都只有两种颜色。但是若用线段树维护，第一种情况要区间长度 7，第二种情况却需要长度 10000007，太浪费时间空间

这里离散化就派上用场了。离散化就是把很大的区间，映射到小的区间中

用到的STL函数：

• sort()：排序。若原数据是无序的，就需要先排序之后再处理
• unique()：把相邻重复元素放到末尾，用不重复元素补上，返回不重复元素末尾地址。若原数据有序，则不重复元素也有序
• lower-boud()：返回第一个不小于指定值的地址

离散数组，左端点，右端点
int disc[MAXN], L[MAXN], R[MAXN]; 

读入数据
for (int k = 0; k < n; k++) {          
    scanf("%d%d", L + k, R + k);
    disc[tot++] = L[k];
    disc[tot++] = R[k];
}

若原数据无序，则需要排序后再去重
sort(disc, disc + tot);

去重，得到不重复元素的个数。此时数组中前面的不重复元素保持有序
int size = (int)(unique(disc, disc + tot) - disc);

进行映射，拿该元素在disc数组中的位置作为映射后的新下标
for (int i = 0; i < n; i ++) {
     L[i] = (int)(lower_bound(disc, disc + size, L[i]) - disc + 1);
     R[i] = (int)(lower_bound(disc, disc + size, R[i]) - disc + 1);
}

离散化bug：

这样离散的方式存在bug，我们举个例子

[1, 10]、[1，6]、[7，10]  ，剩下 2 种颜色

[1, 10]、[1，6]、[9，10]  ,  剩下 3 种颜色

但是离散化之后，区间全都变成

[1, 4]、[1，2]、[3，4]  ，剩下 2 种颜色，很明显有一些情况会出错

分析：

我们维护了一些区间之后，存储的不仅仅是哪些区域有颜色。从另一个角度看，同时也反映了哪些区间是空白的

如：[1，6]、[9，10] 两个区间，就告诉了我们 [7, 8] 区间是空白的

然而，离散化的处理，就是把靠近的两个数设成相邻，把它们之间的空间设为 0 ，这样会丢失空白的那部分数据

本身 6 与 9 之间有空白，离散化之后，变成 2 与 3。这与 6、7 的离散结果无异，空白信息被丢失，对结果造成影响

解决：

有两种解决方案

1、加点法：若两个相邻的数的差值大于 1 ，也就是说两数之间有空白，就在它们之间插入一个点，用来体现空白

实现代码：

int disc[MAXN], L[MAXN], R[MAXN]; 

for (int k = 0; k < n; k++) {      //读入数据
    scanf("%d%d", L + k, R + k);
    disc[tot++] = L[k];
    disc[tot++] = R[k];
}
sort(disc, disc + tot);  //若原数据无序，则需要排序后再去重
int size = (int)(unique(disc, disc + tot) - disc);   //去重，得到不重复元素的个数。此时数组中前面的不重复元素保持有序
int temp = size;      //加点，修复离散bug
for (int i = 1; i < temp; i++)
    if (disc[i] - disc[i - 1] > 1)
        disc[size++] = disc[i - 1] + 1;        
sort(disc, disc + size);
for (int i = 0; i < n; i ++) {    //进行映射，拿该元素在disc数组中的位置作为映射后的新下标
     L[i] = (int)(lower_bound(disc, disc + size, L[i]) - disc + 1);
     R[i] = (int)(lower_bound(disc, disc + size, R[i]) - disc + 1);
}

2、在维护线段树时，改变左右子树的划分方式

原来是: [l, mid]、[mid + 1, r]    改为：[l, mid]、[mid, r]   便可以解决

例题：https://blog.csdn.net/Originum/article/details/82951924