線性O(n)求1~n逆元

求某個數的逆元，我們可以用log(n)的時間算出來。

但是，如果是求1~n的所有逆元呢？是不是就要用nlog(n)的時間了？

其實我們有一種線性的方法，可以在O(n)的複雜度求出1~n的逆元。

 

先假設模數y=ax+b

則ax+b0  (%y)

將兩邊同時除以x·b （因爲你的目的是得到一個形式爲……的式子）

則式子變爲0  

拆開得a·+0

-a·

因爲前面說了y=ax+b

所以a=，b=（y%x）

將此帶入，得：
-`(y%x)^-1

我們設f[i]表示i的逆元，

則f[i]=(-y/i*f[y%i])%y 

按照這個式子遞推下去就可以得到1~n的逆元了。

當然也可以用遞歸的方式用log的時間求出n的逆元。

值得注意的是，因爲你求的逆元也是模意義下的，所以原式應轉化爲f[i]=(y-y/i)*f[y%i]%y ，以此避免出現負數。