线性O(n)求1~n逆元

求某个数的逆元，我们可以用log(n)的时间算出来。

但是，如果是求1~n的所有逆元呢？是不是就要用nlog(n)的时间了？

其实我们有一种线性的方法，可以在O(n)的复杂度求出1~n的逆元。

 

先假设模数y=ax+b

则ax+b0  (%y)

将两边同时除以x·b （因为你的目的是得到一个形式为……的式子）

则式子变为0  

拆开得a·+0

-a·

因为前面说了y=ax+b

所以a=，b=（y%x）

将此带入，得：
-`(y%x)^-1

我们设f[i]表示i的逆元，

则f[i]=(-y/i*f[y%i])%y 

按照这个式子递推下去就可以得到1~n的逆元了。

当然也可以用递归的方式用log的时间求出n的逆元。

值得注意的是，因为你求的逆元也是模意义下的，所以原式应转化为f[i]=(y-y/i)*f[y%i]%y ，以此避免出现负数。