codeforces 1043 F. Make It One 數學？隨機？

https://codeforces.com/contest/1043/problem/F

沒搜到中文題解，看了一下官方題解，翻譯解釋一發。

題意，從n個數中選最少個數的數使得取出的數gcd爲1。數據範圍是n最大3e5，每個數最大3e5.

思路：我們很容易觀察出，如果存在可行答案，那麼取出數量不超過7，因爲最小的7個質數相乘都大於3e5了。

然後定義dp[ i ][ j ] 的意義爲，取出i個不同的數，他們的gcd爲 j 。

通過容斥原理可得  

其中cntj表示有多少個能整除 j 的數，整個式子的意思就是 從能 整除 j 的數中選出 i 個，其中有一些的gcd不爲 j ，後邊一項就是減去不符合的。整個式子從後往前求一下就得出了。

最後答案要判斷 dp[ i ][ 1 ] 是否不爲0，由於數太大，我們選取一個大質數在運算過程中取模。

雖然有一定機率求錯，但概率應該比較小。

#include <algorithm>
#include  <iostream>
#include   <cstring>
#include    <string>
#include    <cstdio>
#include    <vector>
#include    <bitset>
#include     <stack>
#include     <queue>
#include     <cmath>
#include       <set>
#include       <map>
using namespace std;
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define per(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
#define clr(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
#define pb push_back
#define all(x) (x).begin(),(x).end()
#define fi first
#define se second
#define mp make_pair
#define SZ(x) ((int)(x).size())
typedef unsigned long long ull;
typedef long long ll;
typedef vector<int> vi;
typedef pair<int,int> pii;
/*************head******************/
const int MAXN=3e5+10;
const ll MOD=1e9+7;
ll dp[10][MAXN];
ll a[MAXN];
ll cnt[MAXN];
ll fac[MAXN];
ll inv[MAXN];
ll pow_mod(ll a,ll b){
    ll res=1;
    while(b){
        if(b&1)res=res*a%MOD;
        a=a*a%MOD;
        b>>=1;
    }
    return res;
}
ll C(ll n,ll m){
    return fac[m]*inv[n]%MOD*inv[m-n]%MOD;
}
int main(){
    fac[0]=1;
    rep(i,1,300000)fac[i]=fac[i-1]*i%MOD;
    inv[300000]=pow_mod(fac[300000],MOD-2);
    per(i,300000,1)inv[i-1]=inv[i]*i%MOD;
    int n;
    scanf("%d",&n);
    rep(i,1,n){
        ll x;
        scanf("%I64d",&x);
        a[x]++;
    }
    rep(i,1,300000){
        for(int j=i;j<=300000;j+=i){
            cnt[i]+=a[j];
        }
    }
    int ans=-1;
    for(int i=7;i>=1;i--){
        for(int j=300000;j>=1;j--){
            if(cnt[j]<i)continue;
            dp[i][j]+=C(i,cnt[j]);
            if(dp[i][j]>MOD)dp[i][j]-=MOD;
            for(ll k=2*j;k<=300000;k+=j){
                dp[i][j]-=dp[i][k];
                if(dp[i][j]<0)dp[i][j]+=MOD;
            }
        }
        if(dp[i][1]>0)ans=i;
    }
    printf("%d",ans);
    return 0;
}