數學 基礎

柯西分佈，Cauchy distribution

 柯西也叫作柯西-洛倫茲分佈，其概率密度函數爲$f(x;x_0,\gamma)=\frac{1}{\pi} \left[ \cfrac{\gamma}{(x-x_0)^2+\gamma^2} \right]$其中，$x_0$爲定義分佈峯值位置的位置參數；$\gamma$爲最大值一半處的一半寬度的尺度參數。隨機變量服從柯西分佈爲$X \sim C(\gamma,x_0)$，$\gamma=1,x_0=0$的特例稱爲標準柯西分佈，其概率密度函數爲$f(x;0,1)=\cfrac{1}{\pi(1+x^2)}$

 注意，柯西分佈的期望、方差及其他高階矩均不存在(即無有限期望、方差或高階矩)。此外，柯西分佈具有可加性、倒數性，且兩個獨立同標準正態分佈的隨機變量之商將服從標準柯西分佈。具體請見柯西分佈百度百科。