数学 基础

柯西分布，Cauchy distribution

 柯西也叫作柯西-洛伦兹分布，其概率密度函数为$f(x;x_0,\gamma)=\frac{1}{\pi} \left[ \cfrac{\gamma}{(x-x_0)^2+\gamma^2} \right]$其中，$x_0$为定义分布峰值位置的位置参数；$\gamma$为最大值一半处的一半宽度的尺度参数。随机变量服从柯西分布为$X \sim C(\gamma,x_0)$，$\gamma=1,x_0=0$的特例称为标准柯西分布，其概率密度函数为$f(x;0,1)=\cfrac{1}{\pi(1+x^2)}$

 注意，柯西分布的期望、方差及其他高阶矩均不存在(即无有限期望、方差或高阶矩)。此外，柯西分布具有可加性、倒数性，且两个独立同标准正态分布的随机变量之商将服从标准柯西分布。具体请见柯西分布百度百科。