分形的數學基礎
- 相似維數
經驗維數的提出:對於點、線、平面圖形、空間圖形以及曲線或曲面組成的幾何圖形的維數（歐氏維數）分別爲0，1，2，3。對於規整幾何圖形的幾何測量是指長度（邊長、周長、對角線長）、面積與體積的測量。
所以歐氏幾何測量中，可以把這兩類圖形（分別以正方體和球體作爲代表）歸納爲如下二點：
（1）長度=l, 面積=l2, 體積=l3(正方體)
（2）長度（半徑）=r, 面積=πr2, 體積=πr3(正方體)
整數維（拓撲維或傳統的維數）:點 —— 零維、線 —— 一維、面 —— 二維、體 —— 三維。長度、面積和體積的量綱分別是長度單位的1，2，3次方，它們恰好與這些幾何圖形存在空間的歐氏維數相等，而且均爲整數。
在歐氏幾何中對規整幾何圖形的測量，可以用下式來表示：
長度=l
面積A=al2
體積V=bl3
式中a和b爲常數，稱爲幾何因子，與具體的幾何圖形的形狀有關。它們是以兩點間的直線距離爲基礎的，而且，它們的量綱數分別等於幾何圖形存在的空間的維數。
以上討論的維數都是整數，它們的數值與決定幾何形狀的變量個數及自由度數是一致的。
以上討論的維數都是整數，它們的數值與決定幾何形狀的變量及自由度是一致的。也就是說，直線上的任意點可用1個實數表示，平面上的任意點可用由2個實數組成的數組來表示。在1890年有人對經驗維數提出了較深刻的疑問，這是因爲只用一個實數來表示二維的正方形上的任意點。用一條曲線即可把平面完全覆蓋的最好例子是Peano曲線。
Peano曲線可定義爲圖中折線的極限。從圖中可看出，此曲線同樣可以把平面完全覆蓋。此曲線屬於自相似，與Koch曲線一樣，處處不能微分，是分形的一個例子，被稱爲非規整幾何圖形。Peano曲線也適用於三維以上，即可用一個實數來表示n維空間圖形中的任意點。也就說，如果從自由度角度來考慮，也可把n維空間看成一維，這樣就產生了矛盾，爲了避免維數定義矛盾，必須從根本上重新考慮維數的定義，爲此提出了相似維數（Similarity Dimension）。
一般說來，如果某圖形是由把全體縮小爲1/a的aD個相似圖形構成的，那麼此指數D就具有維數的意義。此維數被稱之爲相似維數。
按相似維數的定義，Peano曲線是由全體縮小1/2的四個圖形構成，4=22，所以它的相似維數爲2，與正方形的歐氏維數相一致，前面提到的矛盾就得以解決了。相似維數常用Ds表示。按照其定義，Ds完全沒有是整數的必要。如某圖形是由全體縮小1/a的b個相似所組成，即b=aD, 所以相似維數Ds爲
Ds=lnb/lna
其中討論的Koch曲線，是由把全體縮小成1/3的四個相似形構成的，因此，按Ds=lnb/lna，Koch曲線的相似維數可表示爲：
Ds=lnb/lna=ln4/ln3=1.2618
這是一個非整數值，它定量地表示了Koch曲線的複雜程度。分形圖形雖然一般都比較複雜，但其複雜程度可用非整數維數去定量化。
分形圖形雖然一般都比較複雜，但其複雜程度可用非整數維數去定量化。提出相似維數是把經驗維數擴大爲非整數值的劃時代的進展，但按照其定義，它的適用範圍就非常有限，因爲只有對具有嚴格的自相似性的有規分形，才能應用這個維數。所以，定義適用於包括隨機圖形在內任意圖形的維數是很必要的。
- Hausdorff 維數（分數維數 )
設有一條長度爲L的線段，若用一長爲r的“尺”作爲單位去量它，量度的結果是N，我們說這條線段有N尺。顯然N的數值與所用尺的大小有關，它們之間具有下列關係：
同理，若測量的是一塊麪積爲A的平面，這時就用邊長爲r的單位小正方形去測量它，才能得出確定的N值，其N值爲：
r越小，測得越準，所需小方塊的數目總是比例於A/r2
如果不是用單位小方塊去測量，而僅是用r的尺去直接測量，那是測不出這塊面積大小的。由此可見，測量任何一個物體都必須要用一種適合於它的“尺”去量度，才能給出正確的數值。同樣，可以用半徑爲r的小球來填滿一塊體積V，所需小球的數目比例於V/r3。歸納如下：
對於任何一個有確定維數的幾何體，若用與它相同維數的“尺”去量度，則可得到一確定的數值N；若用低於它維數的“尺”去量它，結果爲無窮大；若用高於它維數的“尺”去量它，結果爲零。其數學表達式爲
兩邊取對數，得
式中DH稱爲Hausdorff維數，它可以是整數，也可以是分數，它歐氏幾何中的幾何體，它們是光滑平整，其D值爲1，2，或3，均爲整數。但對自然界中的物體，是形形色色的，如Koch曲線，其基本單元由4段等長的線段構成，每段長度爲1/3，即N=4，r=1/3
DH是個比1大的分數，這反映了Koch曲線要比一般的曲線來得複雜和不規則，它是一條處處連續但不可微分的曲線。
- 歐氏幾何維數計算
把一個幾何對象的線度放大L倍，若它本身成爲原來的幾何體的k倍，則該對象的維數是
例如，把一個正方形，每邊放大4倍，圖形本身將變爲原來的正方形的16倍，即L=4，K=16，所以D=ln16/ln4=2,也就是說，正方形的維數爲2。
或者，我們按相反的方式，把一個圖形劃分爲N個大小和形態完全相同的小圖形，每一個小圖形的線度是原圖形的r倍，此時維數爲(前面相同)
分數維的計算舉例:
圖（a）表明，人們可以通過一個重複迭加的過程來形成一個分形，而在圖（b）中，把一個原來的方塊一步步地分割，也構成了一個類似的圖形。當k→∞時，上述的二個過程都導致一個分形的形成。
N（L）=5k, L=3k 這裏的k表示重複的次數，所以
DH=ln5k/ln3k=1.465…
類似，對逐步分割的情況
N（L）=5k, L=3-k
DH=ln5k/(1/ln3-k)=1.465…
這表明，它們具有相同的Hausdorff維數，DH=1.465。對分形幾何的這一表徵並不只限於包含在某一平面之內的數學圖形或形態，人們還能計算出諸如河流、海岸線、樹木、閃電、雲層、血管、神經或腸壁絨毛之類真實物體的分形維數，例如人的動脈的分形維數大約爲2.7。
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