分形的特徵

自組織現象
定義：就是在某一系統或過程中自發形成時空有序結構或狀態的現象，也稱之爲合作現象或非平衡非線性現象。

例如： 化學振盪和化學鍾
把Ce2(SO4)3、KBrO3、CH2（COOH）2、H2SO4及幾滴亞鐵靈（氧化還原指示劑）混合在一起並攪拌，再把得到的均勻混合物倒入試管，試管裏立刻會發生快速的振盪；溶液週期地由紅到藍地改變顏色，一會兒紅色，一會兒藍色，象鐘擺一樣發生規則的時間振盪。

又如: 空間有序結構
將一石英管用機械泵抽真空，然後通過高頻感應爐的感應線圈對石英管施加一個高頻交變電場，這時在石英管中就可以看到明暗相間的光環。激光也是光的頻率和位相十分有序的。

自相似性

定義：一個系統的自相似性是指某種結構或過程的特徵從不同的空間尺度或時間尺度來看都是相似的，或者某系統或結構的侷限性質或局域結構與整體類似。

在歐氏幾何中，點線面及立體幾何等規則形體是對自然界中事物的高度抽象，也是歐氏幾何學的研究範疇，這些人類創造出來的幾何體可以是嚴格對稱的，也可以在一定的測量精度範圍，製造出兩個完全相同的幾何。然而自然界中廣泛存在的則是形形色色不規則的形體，如地球表面的山脈，河流，海岸線等，這些自然界產生的形體具有自相似特性，它們不可能是嚴格地對稱的，也不存在兩個完全相同的形體。

從飛機上俯視海岸線，可以發現海岸線並不是規則的光滑的曲線，而是由很多半島和港灣組成的，隨着觀察高度的降低（即放大倍數增大），可以發現原來的半島和港灣又是由很多較小的半島和港灣組成的。當你沿海岸線步行時，再來觀察腳下的海岸線，則會發現更爲精細的結構——具有自相似特性的更小的半島和港灣組成了海岸線。如此一來，一個普通的問題就被提出來，一條海岸線的長度能精確測量嗎？答案是否定的，人們無法精確地測量海岸線的長度，因爲隨着測量的尺子的長度的減小，海岸線的長度會逐漸增大。應用分形理論，人們認識到海岸線的長度是不確定的，它依賴於所使用的測量單位。

體現自相似性的例子有樹枝與樹枝之間樹葉與樹葉、葉脈；太陽系的構造與原子的結構；人體中的大腦、神經系統、血管、呼吸系統、消化系統等。
這裏強調的是自相似，而不是相同或簡單的重複。另外，自相似性通常只和非線複雜系統的動力學特徵有關。總而言之，隨着人類對自然界中複雜的、非線性動力學系統行爲認識的逐步深化，提出了自相似性新概念，它是包括人類社會在內的自然界中普遍存在的一個客觀規律。

有規分形和無規分形 :

數學家們設想了許多不規則的幾何圖形，瑞典數學家科赫（H.Von Koch）於1904年首次提出了Koch曲線，如圖它的生成方法是把一條直線等分成三段，將中間一段用夾角爲60℃的二條等長的折線來代替，形成一個生成元，然後再把每個直線段用生成元進行代換，經無窮多次迭代後就呈現出一條有無窮多彎曲的Koch曲線，用它來模擬自然界中的海岸線是相當理想的。

對於Koch曲線來說，把它分成了四個等份，而每一等份是原來尺寸的 (1/3)。所以有 N = 4 和 r = 1/3。由 d = (log N) / (log (1/r))，可以計算
d = (log 4) / (log 3) ≈ 1.261859507143。

從圖中可以看出，Koch曲線是個分形，具有自相似性。由於它是按一定的數學法則生成的，因此具有嚴格的自相似性，這類分形通常稱之爲有規分形。而自然界裏的分形，其自相似性並不是嚴格的，而是在統計意義下的自相似性，海岸線就是其中的一個例子。凡滿足統計自相似性的分形稱之爲無規分形。

在Sierpinski三角形中，我們把三角形分成了三個相等的部分。而每一部分的邊長和高只是原先三角形的 (1/2) ，所以 N =3 並且 r = 1/2 ，根據等式計算的結果則是 d = (log 3) / (log 2)，結果大約等於 1.584962500721