c++ opencv人脸识别 PCA实现（六）

这是opencv中的一个sample:
上图先:

PCA的数学原理
PCA（Principal Component Analysis）是一种常用的数据分析方法。PCA通过线性变换将原始数据变换为一组各维度线性无关的表示，可用于提取数据的主要特征分量，常用于高维数据的降维。下面我将以opencv里人脸识别为例。
对一副宽p、高q的二维灰度图，要完整表示该图像，需要m = pq维的向量空间，比如100100的灰度图像，它的向量空间为100100=10000。下图是一个33的灰度图和表示它的向量表示：

该向量为行向量，共9维，用变量表示就是[v0, v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7, v8]，其中v0…v8，的范围都是0-255。
现在的问题是假如我们用110000向量，表示100100的灰度图，是否向量中的10000维对我们同样重要？肯定不是这样的，有些维的值可能对图像更有用，有些维相对来说作用小些。为了节省存储空间，我们需要对10000维的数据进行降维操作，这时就用到了PCA算法，该算法主要就是用来处理降维的，降维后会尽量保留更有意义的维数，它的思想就是对于高维的数据集来说，一部分维数表示大部分有意义的数据。

算法的基本原理：

假设 image 表示一个特征向量，其中

【注：xi可能也是一个列向量】

1.计算均值向量 image

2.计算协方差矩阵 S

3.计算S的特征值和对应的特征向量，根据线性代数知识我们知道有公式：

4. 对特征值按照大小进行递减排序，特征向量的顺序和特征值是一致的。假设我们只需要保留K个维数(K<n)，则我们会选取特征值最大的前K个特征向量，用这K个特征向量，来表示图像，这K个向量就是图像K个主成分分量。

对于被观测的向量image，它的K个主成分量可以通过下面公式计算得到：

，其中

因为W是正交矩阵，所有有
。

下面我们在OpenCV中看一个计算PCA的例子：

1.首先读入10副人脸图像，这些图像大小相等，是一个人的各种表情图片。

2.把图片转为1*pq的一维形式，p是图像宽，q是图像高。这时我们的S矩阵就是10行，每行是pq维的向量。

3.然后我们在S上执行PCA算法，设置K=5，求得5个特征向量，这5个特征向量就是我们求得的特征脸，用这5个特征脸图像，可以近似表示之前的十副图像。

#include "opencv2/core/core.hpp"
#include "opencv2/highgui/highgui.hpp"
#include "opencv2/contrib/contrib.hpp"

#include <iostream>
#include <fstream>
#include <sstream>

using namespace cv;
using namespace std;
//把图像归一化为0-255，便于显示
Mat norm_0_255(const Mat& src)
    {
    Mat dst;
    switch(src.channels())
        {
    case 1:
        cv::normalize(src, dst, 0, 255, NORM_MINMAX, CV_8UC1);
        break;
    case 3:
        cv::normalize(src, dst, 0, 255, NORM_MINMAX, CV_8UC3);
        break;
    default:
        src.copyTo(dst);
        break;
        }
    return dst;
    }

//转化给定的图像为行矩阵
Mat asRowMatrix(const vector<Mat>& src, int rtype, double alpha = 1, double beta = 0)
    {
    //样本数量
    size_t n = src.size();
    //如果没有样本，返回空矩阵
    if(n == 0)
        return Mat();
    //样本的维数
    size_t d = src[0].total();

    Mat data(n, d, rtype);
    //拷贝数据
    for(int i = 0; i < n; i++)
        {

        if(src[i].empty()) 
            {
            string error_message = format("Image number %d was empty, please check your input data.", i);
            CV_Error(CV_StsBadArg, error_message);
            }
        // 确保数据能被reshape
        if(src[i].total() != d) 
            {
            string error_message = format("Wrong number of elements in matrix #%d! Expected %d was %d.", i, d, src[i].total());
            CV_Error(CV_StsBadArg, error_message);
            }
        Mat xi = data.row(i);
        //转化为1行，n列的格式
        if(src[i].isContinuous())
            {
            src[i].reshape(1, 1).convertTo(xi, rtype, alpha, beta);
            } 
        else {
            src[i].clone().reshape(1, 1).convertTo(xi, rtype, alpha, beta);
            }
        }
    return data;
    }

int main(int argc, const char *argv[])
    {

    vector<Mat> db;

    string prefix = "../att_faces/";

    db.push_back(imread(prefix + "s1/1.pgm", IMREAD_GRAYSCALE));
    db.push_back(imread(prefix + "s1/2.pgm", IMREAD_GRAYSCALE));
    db.push_back(imread(prefix + "s1/3.pgm", IMREAD_GRAYSCALE));
    db.push_back(imread(prefix + "s1/4.pgm", IMREAD_GRAYSCALE));
    db.push_back(imread(prefix + "s1/5.pgm", IMREAD_GRAYSCALE));
    db.push_back(imread(prefix + "s1/6.pgm", IMREAD_GRAYSCALE));
    db.push_back(imread(prefix + "s1/7.pgm", IMREAD_GRAYSCALE));
    db.push_back(imread(prefix + "s1/8.pgm", IMREAD_GRAYSCALE));
    db.push_back(imread(prefix + "s1/9.pgm", IMREAD_GRAYSCALE));
    db.push_back(imread(prefix + "s1/10.pgm", IMREAD_GRAYSCALE));

    // Build a matrix with the observations in row:
    Mat data = asRowMatrix(db, CV_32FC1);

    // PCA算法保持5主成分分量
    int num_components = 5;

    //执行pca算法
    PCA pca(data, Mat(), CV_PCA_DATA_AS_ROW, num_components);

    //copy  pca算法结果
    Mat mean = pca.mean.clone();
    Mat eigenvalues = pca.eigenvalues.clone();
    Mat eigenvectors = pca.eigenvectors.clone();

    //均值脸
    imshow("avg", norm_0_255(mean.reshape(1, db[0].rows)));

    //五个特征脸
    imshow("pc1", norm_0_255(pca.eigenvectors.row(0)).reshape(1, db[0].rows));
    imshow("pc2", norm_0_255(pca.eigenvectors.row(1)).reshape(1, db[0].rows));
    imshow("pc3", norm_0_255(pca.eigenvectors.row(2)).reshape(1, db[0].rows));
    imshow("pc4", norm_0_255(pca.eigenvectors.row(3)).reshape(1, db[0].rows));
    imshow("pc5", norm_0_255(pca.eigenvectors.row(4)).reshape(1, db[0].rows));

    while(1)
        waitKey(0);

    // Success!
    return 0;
    }

我们输入的10副图像为：

得到的5副特征脸为：

均值脸为：