一個無窮開根號數列的收斂性

見到北京大學的數學分析專業期末考試題，發現一道都不會做。試題不算太難，很多數學技巧不知道或忘記了。有一道數列收斂性試題。
$a_n=\sqrt[n]{1+\sqrt[n]{2+\sqrt[n]{3+\dots+\sqrt[n]{n}}}}$

解：收斂性需要放大或縮小，將其放大
$a_n\leq \sqrt[n]{n+\sqrt[n]{n+\sqrt[n]{n+\dots+\sqrt[n]{n}}}}$

利用一個性質：
$\sqrt[n]{n+3}< 3$
因此，從右面最裏層往外遞推：
$a_n\leq \sqrt[n]{n+3}$

顯然 $a_n\geq 1$，根據夾逼定理，當 $n\rightarrow\infty$ 時，
$a_n\rightarrow 1$