實對稱矩陣的性質

設一個實對稱矩陣 $X$ ($X\in S^n$)，它的最大特徵值爲 $\lambda_{max}$，則滿足性質：
$\forall y\in R^n, \|y\|_2=1\quad \Longrightarrow\quad y^TXy\leq \lambda_{max}$

證明：

根據實對稱矩陣的另外一個性質：
$X=Q^T\Lambda Q$
其中， $Q$ 爲正交矩陣，即 $Q^TQ=I$，而 $\Lambda$ 爲特徵根的對角線矩陣。
$\begin{aligned} y^T X y=& y^T Q^T \Lambda Qy \\ =&U^T \Lambda U\quad (U=Qy) \\ =& \lambda_1 u_1^2+\lambda_2 u_2^2+\dots +\lambda_n u_n^2 \\ \leq & \lambda_{max}(u_1^2+\dots + u_n^2) \\ =&\lambda_{max}U^TU \\ =& \lambda_{max}y^T Q^TQy \\ =& \lambda_{max} y^Ty=\lambda_{max} \end{aligned}$

證畢. $\Box$