算數幾何均值不等式，柯西不等式，琴生不等式

近年來看到這幾個概念不少次了，都有點混淆了，稍微總結下吧。

1. 算數幾何均值不等式

這種是中學課本中常見的，對於一組非負實數 $x_1, x_2, \dots, x_n$，有
$\sqrt[n]{x_1x_2\dots x_n}\leq \frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$
之前我一直把這個當做柯西不等式，其實不是一回事。這個不等式可以用琴聲不等式證明，但貌似不能用柯西不等式證明（沒查到）。

2. 柯西不等式

柯西不等式其實是用向量的內積表示的，對於兩個向量 $\bf u$ 與 $\bf v$，
$\bf |\langle u, v\rangle|^2 \leq \langle u, u\rangle \cdot \langle v, v\rangle$

典型的應用是下面的式子：
$(ac+bd)^2\leq (a^2+b^2)(c^2+d^2)$

其中，${\bf u}=(a, b)$，${\bf v}=(c,d)$

3. 琴生不等式

琴生不等式基於概率論，若 $f(x)$ 爲凸函數，則
$E(f(x))\geq f(E(x))$
若 $f(x)$ 爲凹函數，則
$E(f(x))\leq f(E(x))$

凸函數與凹函數的定義可以根據琴生不等式表示。