4.2 期权估值

53. Binomial Tree

53.1 用1步或者2步二叉树方法计算美式／欧式期权价值

European Option可以使用二叉树来计算，使用概率乘以期权期望的折现。

U=size of up move factor= $e^{\sigma\sqrt{t}}$
D=size of down move factor= $\frac{1}{U}$

risk-neutral probability 计算

$\pi_u=上涨的概率=\frac{e^{rt}-D}{U-D}$
$\pi_d=下跌的概率=1-\pi_u$

2步二叉树example

call, S=20, $\sigma=$ 14%， $r_f$ =4%，K=20

计算U和D

U= $e^{0.14*\sqrt{1}}$ =1.15

D=1/U=0.87

计算涨跌概率

$\pi_u=\frac{e^{0.04*1}-0.87}{1.15-0.87}$ =0.61(上涨概率)

$\pi_u$ =1-0.61=0.39(下跌概率)

画二叉树

如果行权call的价值计算，并折现：

call=0.61 * 0.61 * (26.45-20) * $e^{-0.04*1}$ =2.21

用PS=CK计算P：

put=2.21+20 * $e^{-0.04*1}$ -20=0.67

comparable European Option**可以使用 put-call parity来计算：

P+S=C+K $e^{-rt}$

American option**

当intrinsic value大于第二步权期望收益的折现时，American option在第一步就会提前行权

计算注意：

折现的时候要注意如果中间价格可以行权那么是两个中间价格都要折现
分叉的时候注意时间，如果总期限是6个月，就要拆成两个3个月
risk-neutral probability就是 $\pi_u$

53.2 描述在二叉树中如何捕获波动率

标准差越高，股票涨跌的离差(dispersion)就越高，因此在二叉树里评估each time period股票的价格时，就可以捕获波动率。

53.3 描述用二叉树计算的价值当时间增加的时候如何收敛converges

当每一个period被刻意拆解的很小时，二叉树这种离散(discrete)时间周期，就会收敛(converges)成连续时间周期

53.4 解释二叉树如何用来计算，有红利股票，股票指数，货币和期货

stock pay dividend q

$\pi_u=上涨的概率=\frac{e^{(r-q)t}-D}{U-D}$
$\pi_d=下跌的概率=1-\pi_u$

stock indices 和有红利股票计算类似
option on currencies

$\pi_u=上涨的概率=\frac{e^{(r_{本国}-r_{外国})t}-D}{U-D}$

futures 二叉树包含了在期货上的期权特征，由于期货几乎不要成本，在risk-neutral设定下：

$\pi_u=上涨的概率=\frac{1-D}{U-D}$

54. The BSM Model

54.1 解释股票价格的lognormal属性，收益率的分布，并计算期望收益

BSM模型假设：

长期的股票价格是lognormal分布

股票的收益是normal分布

mean= $[\mu-\frac{\sigma^2}{2}]$

standard deviation= $\frac{\sigma}{\sqrt{T}}$

calculate expected return:

expected value of $S_T$ = $S_0e^{\mu T}$

expected annul return = $\mu$

54.2 计算股票的实现收益和历史波动率

使用几何收益（geometric return）计算 realized return

一个portfolio的资产收益是 5%，-4%，9%，6%
realized return= $(1.05+0.96+1.09+1.06)^{1/4}-1$

54.3 描述BSM模型的假设

标的资产价格服从lognormal
risk free rate是constant
标的资产的波动率是constant
市场是frictionless(无摩擦的)
标的资产没有现金流（dividend和coupon）
期权是欧式期权

54.4 使用BSM计算无分红的欧式期权

call option公式：

$c=SN(d_1)-Xe^{-r_fT}N(d_2)$

$N(d_2)$ =股价高于X的概率，行call权概率

$N(d_1)$ =如果Long期货获得收益的加概率折算因子

$S*N(d_1)$ =到期时卖出1股的加概率PV

$Xe^{-r_fT}N(d_2)$ =到期时按照X价格买入1股的加概率PV

put option公式：

$p=Xe^{-r_fT}(1-N(d_2))-S(1-N(d_1))$
$1-N(d_2)$ =股价低于X的概率，行put权概率
$(1-N(d_1))$ =如果short期货获得收益的加概率折算因子
$X*e^{-r_fT}*(1-N(d_2))$ =到期时按照X价格卖出1股的加概率PV
$S*(1-N(d_1))$ =到期时买入1股的加概率PV

计算 $d_1$ 和 $d_2$

$ln(S_T) 服从分布正态 N[ln(S_0)+(\mu-\frac{\sigma^2}{2})T,\sigma \sqrt{T}]$

$d_2=\frac{ln(\frac{S}{X})+(r_f-\frac{1}{2}\sigma^2)T}{\sigma \sqrt{T}}$
所以 $d_2$ 就是使用股票价格lognormal分布公式来求股票价格从S到X的Z值，假设 $\mu$ 是 $r_f$

$d_1=d_2+\sigma \sqrt{T}$

会使用 $d_1$ 和 $d_2$ 查表找 $N(d_1)$ 和 $N(d_2)$

增加stock的CF会增加call的price，降低put的price

54.5 计算权证warrant的价值，识别使用权证估值的复杂性

warrant是一个权利可以让债券持有者按照签订的价格购买股票
warrant可以用separate call option的估值方法来定价

value of each warrant= $\frac{N}{N+M}*call$
N=number of share outstanding
M=number of new warrant

54.6 定义隐含波动率，描述如何用BSM计算隐含波动率

股票的历史波动率不一定代表当前市场波动率，所以使用BSM公式和参数：

股票价格，
执行价格，
无风险利率，
到期时间
期权价格
来计算implied volatility

54.7 解释分红如何影响美式期权的行权的

因为dividend会降低不行权价值，所以支付dividend可能导致美式call option提前行权：

option接近到期
larger dividend

行权条件： $D>X(1-e^{-r(T-t_n)})$

54.8 使用BSM计算有分红的欧式期权

把BSM公式中的S替换成 $Se^{-qT}$

55. Geek Letters

55.1 描述和评估裸(naked)期权和保护(covered)的期权的风险指标

naked position：卖call没有持有标的资产，如果资产上涨，损失会很大
covered position：卖call有持有标的资产，如果资产上涨，损失较小，但是资产下跌损失多

两个positions都不是hedged postion

55.2 如何对naked and covered option生成一个止损策略

stop-loss strategy objective：

持有 naked position，when out-of-the-money
持有 covered position, when in-the-money

55.3 描述对期权，远期，期货进行delta hedging

delta: stock价格变动1单位，衍生品价格变动多少，期限越短delta变化越剧烈

$delta=\Delta=\frac{\delta c}{\delta s}$

补充考点：dividend会导致股价下跌，而in the money的delta高于out of the money，所以in the money的option对dividend的敏感度更高。

option delta hedge:

call option delta: 0到1，S涨， $\Delta$ 涨
put option delta: -1到0，S涨， $\Delta$ 涨
对冲short call position= 买入 [Delta * (卖出call数量)]数量的stock(delta-neutral hedge)

forward delta hedge:

forward delta = 1
1单位forward用1单位stock offsetting（抵消）

futures delta hedge:

futures delta = $e^{rT}$
1单位future用 $e^{rT}$ 单位stock offsetting

55.4 计算一个option的delta

可以使用BSM公式里面的 $N(d_1)$ 来计算option的delta

根据S,X, $r_f$ , $\sigma$ ,T 计算出 $d_1$

查表得到 $N(d_1)$ ，就是option的delta

55.5 描述delta hedging的dynamic aspect，区分dynamic hedging 和 hedge-and-forget hedging

当delta发生改变的时候，这时候portfolio不再被hedge, 所以要不断调整来构建一个delta-neutral position，这就是dynamic hedge

delta-neutral position特点：

是复杂的(sophisticate)对冲方法，要做到当security改变时，portfolio的变化最小

只对asset的小变化有效，如果asset变化大时需要rebalance（由于实际关系时曲线而不是直线）

Dynamic hedge: adjusting the hedge on a frequently basis. 根据基差变化不断调整hedge
hedge-and-forget hedge：static hedge，hedge is initially set-up but never adjusted. 设定好了就不再调整

55.6 定义一个portfolio的delta

$portfolio delta = \sum w_i*\Delta_i$

55.7 定义和描述 theta，gamma，vega and rho

Theta, $\theta$ ,减少1个单位到期时间，option price减少多少，“time decay”

theta对call和put效果相同，随着时间流逝（到期时间缩短），option价值减少（因为时间越长，不确定性越多，option价值越高）

theta在at the money时最明显（pronounced），每减少一单位到期时间，option价值减少最多（因为stock变化概率低，所以option减少价值多）

European in the money put option可能会有正theta（因为时间减少市场担心股票价格会跌，所以put option价值会增加）

期限越长的option，theta影响越小

Gamma， $\Gamma$ , delta变动1单位，option price变动多少，度量期权价格的曲率，图形和theta相反

Gamma可以用来对冲大的股价变动

Gamma neutral positon= $-(\Gamma_p$ / $\Gamma_T)$

在把Gamma调整成neutral以后注意要买卖asset来调整delta

期限越长，price变化对delta的影响越小

Vega，stock波动率改变1单位，option price改变多少

给定T，X，r，call和put的Vega相同

At the money Vega最高

Deep in／out the money的option接近于0

时间越长，可能波动率变化越大

Rho， $\rho$ , $r_f$ 改变1单位，option price改变多少

Rho对fixed income衍生品的影响比option衍生品大

in the money的Rho比out of the money高，在put和call上都是

期限越长，利率变化对option的影响越大

考题分析：

call的delta永远为负，所以A错
call的rho永远为正，所以rate涨，stock涨，call也涨，所以B错
deep in the money，stock涨，call也涨，所以D错
波动率下降会导致call跌，但是不回影响stock

55.8 解释如何实现和维持一个delta-neutral和gamma-neutral的头寸

使用公式 $-(\Gamma_p$ / $\Gamma_T)$ 计算需要买或者卖多少option来达到gamma-neutral，gamma-neutral就是把gamma对冲到0，让stock变化对portfolio的delta没有影响

$\Gamma_p$ =当前投资组合的gamma
$\Gamma_T$ =需要对冲的option的gamma

新增的option头寸数量乘以delta，来计算需要买卖多少标的资产达到delta-neutral，delta-neutral就是把delta对冲到0，让stock变化对portfolio的价值没有影响

55.9 描述delta，theta，gamma和vega的关系

$option\ price=\frac{\theta+rS\Delta+0.5\sigma^2S^2\Gamma^2}{r}$

公式代表option和S的非线性回归

55.10 描述对冲活动如何在实践中发生，描述scenario analysis如何用来计算期权的期望gains and loss

在实践中管理一个delta-neutral的position，同时监控其他Greek的敏感性

通常基于给定资产的price和volatility，设计不同的情境来调整Greek参数，分析计算投资组合的gains and loss

55.11 描述如何用期权和股票指数期货构建portfolio insurance

portfolio insurance由两者组合：

an underlying instrument

当市场跌时，cash or derivative that generate a floor value, 同时允许市场涨的收益

两种portfolio insurance：

long put option

根据需要的put option的delta来short相同delta的index future，并随时调整short的position

如果大家觉得这个学习笔记对你学习FRM有帮助，欢迎大家使用下面的二维码关注我的个人订阅号：馔玉阁。所谓馔玉，原指美食，入口的是美食，入脑的就不是美食吗？