§7.2 向量、向量的加減法與向量的數乘
一、向量的概念
既有大小，又有方向的量稱之爲向量。
數學上用一條有方向的線段(即有向線段)來表示向量。有向線段的長度表示向量的大小，有向線段的方向表示向量的方向。
以
爲始點，
爲終點的有向線段所表示的向量記爲
。
有時也有粗體字母或一個上面加有箭頭的字母表示向量，如向量
、
、
或 
、
、
等等。
向量的大小稱作向量的模。
向量與的模記作
與
。
模等於1的向量稱作單位向量。
模等於0的向量稱作零向量，並記作
，並規定：零向量的方向爲任意的。
在直角座標系中，以座標原點爲始點，向一點
引向量，這個向量
稱作點對於原點 
的向徑，常用
表示。
實際問題中，有些向量與始點有關，而有些向量與始點無關，但一切向量的共性是：它們都有大小和方向。因此，在數學上我們只研究與始點無關的向量，並稱這種向量爲自由向量，簡稱向量。
當遇到與始點有關的向量時(例如：質點運動的速度)，可在一般原則下作特殊處理。
定義兩向量、相等的意義如下：
若向量與向量的模相等，又互相平行，且指向一致，則稱向量與向量相等，並記作
。
顯然，若，經過平行移動之後，與能完全重合在一起。
二、向量的加減法
據力學實驗的結果，兩個力的合力可根據平行四邊形法則求出。
我們對向量規定加法運算如下：
設
、
，以
與
爲邊作一平行四邊形
，取對角線向量
，記
，稱爲與之和，並記作
這種用平行四邊形的對角線向量來規定兩個向量之和的方法稱作向量加法的平行四邊形法則。
如果向量與向量在同一直線上，那麼，規定它們的和是這樣一個向量：
若
與
的指向相同時，和向量的方向與原來兩向量相同，其模等於兩向量的模之和。
若與的指向相反時，和向量的模等於兩向量的模之差，其方向與模值大的向量方向一致。
由於平行四邊形的對邊平行且相等，可以這樣來作出兩向量的和向量：
作
，以
的終點爲起點作
，聯接
得
。
該方法稱作向量加法的三角形法則。
向量加法的三角形法則的實質是：
將兩向量的首尾相聯，則一向量的首與另一向量的尾的連線就是兩向量的和向量。
據向量的加法的定義，可以證明向量加法具有下列運算規律：
1、交換律 
2、結合律 
與的模相同而方向相反的向量叫的負向量，記作
。我們規定兩向量與的差爲：
。
特別地，
由三角形法則可看出：要從減去，只要把與長度相同而方向相反的向量
加到向量上去。由平行四邊形法則，可如下作出向量
。
三、向量與數量的乘法
設
是一個數量，向量與的乘積規定如下：
1、當
時，向量
的方向與的方向相同，其模等於的倍，
即 
；
2、當
時，向量是零向量，即 
；
3、當
時，向量的方向與的方向相反，其模等於的
倍，
即 
。
特別地，取
，則向量
的模與的模相等，而方向相反，由負向量的定義知： 
。
據向量與數量乘積的定義，可導出數乘向量運算符合下列運算規律：
1、結合律 
顯然，向量
、
、
的方向是一致，
且 
= 
=
= 
·
2、分配律
一個常用的結論：
若
( 爲數量 )，則向量與向量平行，記作
；反之，若向量與向量平行，則 ( 是數量)。
簡言之，
。
設是非零向量，用
表示與同方向的單位向量。
由於
與同方向，從而與亦同方向，而且
。
即 
。
我們規定：若
， 
。於是 
。
這表明：一個非零向量除以它的模是一個與原向量同方向的單位向量。
請注意：向量之間並沒有定義除法運算，因此決不能將式子改寫成形式 
。
十分顯然，這種錯誤是受實數運算法則的“慣性作用”所造成。