高等數學知識點彙總

第一章 函數、極限與連續

1、函數的有界性
　　2、極限的定義(數列、函數)
　　3、極限的性質(有界性、保號性)
　　4、極限的計算(重點)(四則運算、等價無窮小替換、洛必達法則、泰勒公式、重要極限、單側極限、夾逼定理及定積分定義、單調有界必有極限定理)
　　5、函數的連續性
　　6、間斷點的類型
　　7、漸近線的計算

第二章導數與微分

1、導數與微分的定義(函數可導性、用定義求導數)
　　2、導數的計算(“三個法則一個表”：四則運算、複合函數、反函數，基本初等函數導數表;“三種類型”：冪指型、隱函數、參數方程;高階導數)
　　3、導數的應用(切線與法線、單調性(重點)與極值點、利用單調性證明函數不等式、凹凸性與拐點、方程的根與函數的零點、曲率(數一、二))

第三章中值定理

1、閉區間上連續函數的性質(最值定理、介值定理、零點存在定理)
　　2、三大微分中值定理(重點)(羅爾、拉格朗日、柯西)
　　3、積分中值定理
　　4、泰勒中值定理
　　5、費馬引理

第四章 一元函數積分學

1、原函數與不定積分的定義
　　2、不定積分的計算(變量代換、分部積分)
　　3、定積分的定義(幾何意義、微元法思想(數一、二))
　　4、定積分性質(奇偶函數與週期函數的積分性質、比較定理)
　　5、定積分的計算
　　6、定積分的應用(幾何應用：面積、體積、曲線弧長和旋轉面的面積(數一、二)，物理應用：變力做功、形心質心、液體靜壓力)
　　7、變限積分(求導)
　　8、廣義積分(收斂性的判斷、計算)

第五章 空間解析幾何(數一)

1、向量的運算(加減、數乘、數量積、向量積)
　　2、直線與平面的方程及其關係
　　3、各種曲面方程(旋轉曲面、柱面、投影曲面、二次曲面)的求法

第六章 多元函數微分學

1、二重極限和二元函數連續、偏導數、可微及全微分的定義
　　2、二元函數偏導數存在、可微、偏導函數連續之間的關係
　　3、多元函數偏導數的計算(重點)
　　4、方向導數與梯度
　　5、多元函數的極值(無條件極值和條件極值)
　　6、空間曲線的切線與法平面、曲面的切平面與法線

第七章 多元函數積分學(除二重積分外，數一)

1、二重積分的計算(對稱性(奇偶、輪換)、極座標、積分次序的選擇)
　　2、三重積分的計算(“先一後二”、“先二後一”、球座標)
　　3、第一、二類曲線積分、第一、二類曲面積分的計算及對稱性(主要關注不帶方向的積分)
　　4、格林公式(重點)(直接用(不滿足條件時的處理：“補線”、“挖洞”)，積分與路徑無關，二元函數的全微分)
　　5、高斯公式(重點)(不滿足條件時的處理(類似格林公式))
　　6、斯托克斯公式(要求低;何時用：計算第二類曲線積分，曲線不易參數化，常表示爲兩曲面的交線)
　　7、場論初步(散度、旋度)

第八章 微分方程

1、各類微分方程(可分離變量方程、齊次方程、一階線性微分方程、伯努利方程(數一、二)、全微分方程(數一)、可降階的高階微分方程(數一、二)、高階線性微分方程、歐拉方程(數一)、差分方程(數三))的求解
　　2、線性微分方程解的性質(疊加原理、解的結構)
　　3、應用(由幾何及物理背景列方程)

第九章 級數(數一、數三

1、收斂級數的性質(必要條件、線性運算、“加括號”、“有限項”)
　　2、正項級數的判別法(比較、比值、根值，p級數與推廣的p級數)
　　3、交錯級數的萊布尼茲判別法
　　4、絕對收斂與條件收斂
　　5、冪級數的收斂半徑與收斂域
　　6、冪級數的求和與展開
　　7、傅里葉級數(函數展開成傅里葉級數，狄利克雷定理)