密碼

【簡要題意】求$\Sigma^n_{i=1}i^22^i$ $mod \ 1e9+7$的值，$n<=1e9$

【分析】線性複雜度的算法顯然是好想的。低於線性的算法有兩種：

1.數論
2.推式子

這道題是後者，證明過程如下：
$設S_n=1*2+4*2^2+9*2^3+.....+n^2*2^n$
$則2S_n=1*2^2+4*2^3+9*2^4+......+n^2*2^{n+1}$
$相減整理可得到S_n=n^2*2^{n+1}-(1*2+3*2^2+5*2^3+........(2n-1)*2^n)$
$再設T_n=(1*2+3*2^2+5*2^3+........(2n-1)*2^n)$
$同理乘二再相減T_n=(2n-3)*2^{n+1}+6$
$回到原式得S_n=(n^2-2n+3)*2^{n+1}-6$

【code】

# include<bits/stdc++.h>
# define int long long
using namespace std;
const int mod=1000000007;
int pw(int x,int n)
{
	int ans=1;
	while (n) {
		if (n&1) ans=ans*x%mod;
		x=x*x%mod;
		n>>=1;
	}
	return ans%mod;
}
signed main()
{
	int n; cin>>n;
	n=((pw(2,n+1)*(((n*n%mod-2*n%mod+3)+mod)%mod)-6)+mod)%mod;
	cout<<n;
	return 0;
}