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前言
- 看了永野裕之先生的数学书《数学好的人是如何思考的》，感觉印象深刻，遂把整书结构思想摘抄总结如下。
数学实用性
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爱因斯坦：所谓教育，是忘却了在学校学得的全部知识之后所剩下的本领。为了让这个本领能便利地解决社会中面临的诸多问题，教育应该培养的是能够独立思考和独立行动的人。
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因此，凡是不能够独立思考和独立行动的人，要么是接受的教育不行，要么是懒惰。
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通过“画面感”和“重新制定计划”来学习和以前不一样的数学。
初中数学背后的7个技能（逻辑思考的提示）
- 概念理解（联想）
- 看穿本质（广义化）
- 合理解题（过程）
- 抓住因果关系（相似）
- 增加信息（相似归纳）
- 令人信服（证明）
- 从局部看整体（概率统计）
解决数学题的10个思路（共通性的基本思考方法）
- 降低次方和次数
- 寻找周期性和规律性
- 寻找对称性
- 逆向思维
- 与其考虑相加，不如考虑相乘
- 相对比较
- 归纳性的思考实验
- 数学问题的图像化
- 等值替代
- 通过终点来追溯起点
数学和算数
- 算数是结果，为生活服务，因此学习算数的关键是记住方法，然后反复练习提高速度，以解决模式化的问题。任务完成。
- 数学是过程，为解决问题服务，因此，学习数学不是为了生活，而是为了锻炼逻辑思维能力，从而解决未知的问题。
- 综上：算术追求的是结果的正确性，数学则追求的是逻辑的正确性，换句话说就是过程的严谨与合理。
- 这个时代更加需要数学，因为麻省理工学院媒体实验室的所长伊藤穰一说：世界变化如此之快，地图已经毫无用处。我们需要的是指南针。
学术学习方法摘要
- 切勿死记硬背
- 死记硬背是懒惰的表象，相对懒惰，因为有些，或者许多人死记硬背都不愿意，想要坐享其成。
- 有些知识需要背，但是如果对于新知识，思考其对应的现实含义，背诵则会更加高效且便捷。
- 多问为什么
- 数学是为了解决未知的问题的，所以记住已有的题的意义就是能够举一反三，通过已有的问题的总结，能够适用于任何问题的解决技巧和捷径。但是这些方法捷径很难通过定理、公式和解题方法表现出来，而我自己有比较懒惰，没有思考，所以我目前没有学会。
- 重新定义
- 同切勿死记硬背，赋予新知识自己的理解，进行重新定义，能够帮助记忆，抓住本质。
- 证明公式定理
- 通过证明定理，体会大师们的思路。
- 闻 – 思 – 教 三步走
- 默而识之，学而不厌，诲人不倦
技能详解
概念理解
- 如果只是囫囵吞枣地接受看到的东西，你就很难发现隐藏在其深处的真理。但是，如果能通过概念进行分析，我们的思考就是无限的，哪怕是宇宙中遥不可及的神秘世界，我们也能尝试一探究竟。我认为智慧与概念息息相关。通过创创造概念、深化概念，我们才能理解世界，可以说，数学的历史就是概念的历史。
- 对“质数”的理解
- 数的原子结构-分解质因数
- 分解质因数的步骤
- 依次除以能够整除的数的质数
- 把用于分解的质数和剩下的质数写成乘积形式
- 分解质因数的步骤
- 分解质因数告诉我们一个道理：将每个东西分解为不可再分的质数，无论是解决“公因数”还是“公倍数”的问题，都是最有效的方法。当然，发现事物的“质”绝非易事，但只要我们追根溯源，就能发现事物的本质，所以我希望大家在思考问题时候不要半途而废，要有追根究底的精神。
- 貌似，这次探索确实对我有帮助，以前就没有发现。
- 数的原子结构-分解质因数
- 把无法抓住本质的数（无理数）作为概念理解
- 有理数–有比数
- 无理数–无比数
- 为了计算，自然数诞生了；为了分配、求算比例，分数诞生了；为了表示“无”，0诞生了，为了在同一个概念中掌握相反的概念，负数诞生了。
- 对“质数”的理解
看穿本质
- 一定要懂得从海量信息中，筛选出自己想要的信息并抓住其本质。
- 首先若能将对象一般化，我们便能统一处理庞大的信息，另外，如果能意识到某个问题的基本组成要素，我们就能认识到眼前问题的复杂性，并能找到处理方法。并且，数学可以帮助我吗们推断没有的东西。
- 数学和算数的最大区别，解决数学问题用负数和字母。用字母代替数字（代数？）
- 本质就是概念。理解概念是学习数学的一大目标。
- 抓住事物的本质，总结出共同的概念，这就是所谓的一般化，数学的基本精神就是从多个具体事例中找出潜在的本质。因此，在学习数学的过程中，我们应该随时想到用字母来表示对象。
- 次数：相乘的字母的个数。
- 因式分解
- 因式分解的意义在于增加的式子的信息量，就像做辅助线增加图像的信息量一样。但是，因式分解后，做完辅助线后，我们要利用好其他的式子的基本变形，通过辅助线构造的平行相似，再进行下一步操作。
- 因式分解基本要求
- 提取公共的因数
- 对最低的字母进行整理
- 再利用现成的因式分解公式
合理解题
- 要点
- 正确的过程
- 总结规则
- 模式化
- 等式的性质及其重要性
- 逻辑推理的前提
- 诡辩的产生
- 0不可作为除数的原因
- 证明2=1
- 联立方程组
- 方程增加约束，未知数的个数又称自由度
- 代如法解决方程及加减法解方程
- 代入法解方程组
- 只要是带有字母的方程，我们就必须时刻不忘消去未知数，这是解答代数问题最重要的基本方针。时刻遵循确定要消去的字母->对确定的字母进行求解->带入其它式子进行解方程
- 完全掌握初中数学式子变形的知识点的知识点–完全平方
- 完全平方的基础式
式子的特点，第二个k为第一个k的一半，第三个k为第二个k的平方，内部2
K的一半，减去外面K的平方
- 完全平方的基础式
- 例子
- 3为6的一半，9为3的平方。3为上面公式的K，K为核心。
抓住因果关系
- 要点
- 找出单射（最基本的单射–比例）
- 熟练掌握并利用“线性”与“非线性”的关系
- 由“比例”走进函数的世界。函数关系就是指因果对应的关系。一次函数是线性函数，我们可以通过一次函数认识世界；二次函数事“非线性”函数，我们可以通过二次函数表现真实的世界。
- 线性代数：线性代数是在求解联立一次方程组的基础之上展开的。
增加信息
- 要点
- 从方法中探索原理
- 准备有效的核对清单
- 分类
- 找出相似之处
- 初中数学中代数与几何各占半壁江山，但是几何问题就像猜谜语，无法明确的提高逻辑思维能力，所以高中以后几何就变少了，但是也会有一些作用，比如提高信息量。
- 辅助线不是随意画的。平行线的作用正是获得“更多有用的信息”。
- 垂直平分线
- 角平分线
- 做出这些东西后，思考垂直平分线的定义与性质，然后这些定义和性质就是能带来的信息量。
- 方法中的原理：忽略原理，你找的所谓捷径也是绕远路，而且很难达到目的。
- 知道“方法”总是比没有好，但是仅仅满足方法，就会忽略其中的本质，在学习做图中，学生可能会通过记住方法在学生中得分，但是如此，就压制了他们的好奇心。我认为，问（而且是一直问）“为什么”是掌握数学技能 的唯一“资质”。放大方法的作用，是一件令人遗憾的事。
- 准备清单以便高效率的收集信息
- 应用：证明全等三角形的方法思想
- 三角形若干角相等，边相等，三角形全等。
- 分类归纳信息（定义）
- 等腰三角形
- 正三角形
- 平行四边形
- 长方形
- 菱形
- 正方形
- 行星分类
- 信息量最多的图形圆
- 相似的核心思想：成比例
- 通过相似图形的知识点，在生活中找相似的事和物，信息量增多的同时，还能发现很多隐藏的性质。
- 芥川龙之介：“人生就好像一盒火柴，如果很小心翼翼地对待它，是有些可笑的；可是如果不认真对待它，又是很危险的。”
- 不只是这句话的比喻，当你发现某个东西和另一个东西很相似的时，会有一种豁然开朗的感觉，当用举例子进行论证的时候，自己满意，别人也更加容易理解，类比是论证中最为重要的方法。
令人信服
- 要点
- 明确假设、结论
- 简明地证明“假设”的原因
- 不要现学现卖
- 逻辑正确（利用数学证明），就能拥有压倒性的说服力，任何人都无法违抗真理
- 逻辑的基础
- 假设和结论
- 芝诺悖论（追乌龟的故事）
- PAC思考法
- 在中学数学中，很少提到“前提”一词，但是在我们日常生活中，偶尔会遇到前提有些奇怪的“逻辑”。欺诈的“逻辑”大多数都是这个模式。即使“假设->结论”的逻辑无懈可击，但是如果你觉得可疑的话，不妨关注一下前提P，琢磨一下前提是否存在问题。
- 1+1在二进制的条件下成立。
- 爱因斯坦说：常识就是人在十八岁之前形成的各种偏见。
- 由于生长环境的不同，我们的常识可能对对方而言并非常识。要和背景不同的人展开合乎逻辑的讨论，切记在讨论之前，认真确认前提。（和哲学终极三问的第一问：是何如此相像。）
- 数学考试的目的
- 逻辑表达能力（人话就是能够一五一十的写出得到答案的过程）
- 数学考试是加分项
- 对于考生而言，只能通过答案展示自己的实力，而对于评分老师而言，答案纸上所有内容都是对考生做出评价的参考资料。考生必须在答案中将自己掌握东西全部表现出来。
- 我们无需复制习题集里那种格式工整的答案，只需按照自己的思想，想到哪儿就写到哪儿，想到多少就写多少。因为数学是加分制，写多不扣分。
- 不用担心答案写的太多。在答题的时候，清楚地意识到，答案纸是展现自己实力的唯一舞台，因此，多写一点才不会失去表现的机会。
- 如果想写出能得高分的答案，就要把阅卷“老师”当成自己的朋友，他的数学比你差，因此，你一定要详细地写出答题过程，只有这样，他才明白答案是怎么得来的。
- 证明题的书写方法
- 基于假设，有条不紊地展开推到，最终得出结论。这是解题方法，也是写证明题应遵循的顺序。
- 许多人在学生时代都不擅长做证明题，数学磨炼的是一个人的逻辑思考能力，从这个角度来看，证明题的作用尤为重要。
- 要点
- 清楚地写明假设和结论
- 完整地写出由假设得出结论的理由
- “A等价于B等价于C等价于D”和“如果”同时存在时，应写明“如果”出现的条件和结果
- 站在读者的立场，耐心地写清楚证明过程。
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站在别人的立场，这一条乍看之下有点道德约束，实际上这一点非常重要，写证明题，最忌讳的就是自说自话。
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正多边形的个数为有限个的证明过程
- 学习证明过程的思想不在于知道一个真理，而是体会发现真理的过程。背诵一个理论，在大多数是没有用处的，但是如果亲自验证，就能够理解理论得来的过程，理论就变的有意义。
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勾股定理
- 深奥的“逻辑之森”的入口
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学习数学并不是培养利用公式来解决模式化问题的能力，而是要磨练运用逻辑思维解决未知问题的能力。 从培养逻辑思维的角度来看，证明勾股定理是初中数学学习的重中之重，勾股定理作为高中的“逻辑之森”的路口，蕴含着耐人寻味的美景。（普通的我们只需要欣赏逻辑的美丽，探寻蛮荒之地交给科学家）
从局部看整体
- 要点
- 挑选“代表”
- 不依赖直觉
- 不倾向使用混杂的数据
- 统计
- 包括描述统计学与推断统计学
- 概率
- 破除错觉
- 抽样调查
- 以小见大
- 进阶：将数据的分布带入考虑
综合问题——如何使用7个技能
- 看书吧
总结
从“数与式”与“函数中”，期望能够通过逻辑思维解决问题。
从圆与三角形图形知识中，体会分类和制约中发现潜在性质的方法，以及从假设导出结论的证明过程。