《具體數學》（一） 遞歸問題

普通漢諾塔問題

問題描述請看這裏。

a，b，c三個圓柱，把a上面的圓盤按照小的盤子只能放在大的上面的規則通過b移動到c上（從上到下爲從大到小！）。

這個問題想必在課堂上(老師會說不用考慮中間過程是怎麼進行的)，書上或者某處看到過，

在這裏我們把64片黃金圓盤改成爲n（畢竟這是個數學問題），然後設把i個盤子從a通過b移動到c上（盤）所需要的移動次數爲T(i)

（1<=i&&n>=i），我來解釋一下爲什麼要重點標記這個"設"，因爲在這裏把i個盤子從a移動到c和a移動到b的原理是一樣的（後面會用到這個解釋）。

       要把n個盤子移動c上，需要先將a上面的n-1個盤子移動到b上，再將第n個盤子移動到（按照上面的解釋這裏用了T(n-1)），then把第n個盤子放到c上（移動了1次），記住這裏還沒完，因爲，我們還沒把n-1盤子移動到c上（所以這裏還有T(n-1)次，原因看解釋），所以T(n)=2*T(n-1)+1 次，然後依次地推到T(1)=1，就可以通過求解下列遞推式得出次數。

                                                         

#include<iostream>

using namespace std;

typedef long long ll;

int count=0;

void move(ll n,char a,char c)
{
	count++;
	cout << count << ':' << a << "->" << c <<endl;
}

void h(ll n,char a,char b,char c)
{	
	if(n==1)
	{
		move(n,a,c);
	}
	else
	{
		h(n-1,a,c,b);
		move(n,a,c);
		h(n-1,b,a,c);
	}
	
}

int main()
{
	ll n=3;
	
//	cin>>n;
	
	h(n,'a','b','c');
	
	return 0;
}

擴展一下：

在原來的基礎下，加上一個條件：a上的盤子，不能直接移動到c上。

解法類似，先設T(i)爲把i個盤子從a經過b移動到c（不直接從a移動到c）上所需要的次數，同理把i個盤子從c經過b移動到a上需要的次數爲T(i)次。

步驟：

1）先把n-1個盤子從a移動到c上，次數爲T(n-1)；

2）再把第n個盤子移動到b上，次數爲1；

3）在把n-1個盤子從c移動到a上，次數爲T(n-1)；

4）再把第n個盤子從b移動到c上，次數爲1；

5）最後把n-1個盤子從a移動c上，次數爲T(n-1)。

綜上所述：

so：

#include<iostream>

using namespace std;

long long cou;

void mov(char a,char b)
{
    cou++;
    cout<<cou<<a<<b<<endl;
}

void h(int n,char a,char b,char c)
{
    if(n==1)
    {
        mov(a,b);
        mov(b,c);
    }
    else
    {
        h(n-1,a,b,c);
        mov(a,b);
        h(n-1,c,b,a);
        mov(b,c);
        h(n-1,a,b,c);
    }
}

int main()
{
    int n;
    
    cin>>n;

    h(n,'a','b','c');

    return 0;
}