《具体数学》（一） 递归问题

普通汉诺塔问题

问题描述请看这里。

a，b，c三个圆柱，把a上面的圆盘按照小的盘子只能放在大的上面的规则通过b移动到c上（从上到下为从大到小！）。

这个问题想必在课堂上(老师会说不用考虑中间过程是怎么进行的)，书上或者某处看到过，

在这里我们把64片黄金圆盘改成为n（毕竟这是个数学问题），然后设把i个盘子从a通过b移动到c上（盘）所需要的移动次数为T(i)

（1<=i&&n>=i），我来解释一下为什么要重点标记这个"设"，因为在这里把i个盘子从a移动到c和a移动到b的原理是一样的（后面会用到这个解释）。

       要把n个盘子移动c上，需要先将a上面的n-1个盘子移动到b上，再将第n个盘子移动到（按照上面的解释这里用了T(n-1)），then把第n个盘子放到c上（移动了1次），记住这里还没完，因为，我们还没把n-1盘子移动到c上（所以这里还有T(n-1)次，原因看解释），所以T(n)=2*T(n-1)+1 次，然后依次地推到T(1)=1，就可以通过求解下列递推式得出次数。

                                                         

#include<iostream>

using namespace std;

typedef long long ll;

int count=0;

void move(ll n,char a,char c)
{
	count++;
	cout << count << ':' << a << "->" << c <<endl;
}

void h(ll n,char a,char b,char c)
{	
	if(n==1)
	{
		move(n,a,c);
	}
	else
	{
		h(n-1,a,c,b);
		move(n,a,c);
		h(n-1,b,a,c);
	}
	
}

int main()
{
	ll n=3;
	
//	cin>>n;
	
	h(n,'a','b','c');
	
	return 0;
}

扩展一下：

在原来的基础下，加上一个条件：a上的盘子，不能直接移动到c上。

解法类似，先设T(i)为把i个盘子从a经过b移动到c（不直接从a移动到c）上所需要的次数，同理把i个盘子从c经过b移动到a上需要的次数为T(i)次。

步骤：

1）先把n-1个盘子从a移动到c上，次数为T(n-1)；

2）再把第n个盘子移动到b上，次数为1；

3）在把n-1个盘子从c移动到a上，次数为T(n-1)；

4）再把第n个盘子从b移动到c上，次数为1；

5）最后把n-1个盘子从a移动c上，次数为T(n-1)。

综上所述：

so：

#include<iostream>

using namespace std;

long long cou;

void mov(char a,char b)
{
    cou++;
    cout<<cou<<a<<b<<endl;
}

void h(int n,char a,char b,char c)
{
    if(n==1)
    {
        mov(a,b);
        mov(b,c);
    }
    else
    {
        h(n-1,a,b,c);
        mov(a,b);
        h(n-1,c,b,a);
        mov(b,c);
        h(n-1,a,b,c);
    }
}

int main()
{
    int n;
    
    cin>>n;

    h(n,'a','b','c');

    return 0;
}