PDE——delta函數

$\delta$函數

$\delta$函數，並不是通常意義下的函數：它並沒有給出函數與自變量之間的對應關係。
它給出的對應關係在通常意義下是沒有意義的
它所給出的“函數值”只是在積分運算中才有意義$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta(x) \mathrm{d} x=f(0)$

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$\delta$函數也可以理解爲（任意階可微）函數序列的極限。
凡是具有$\lim _{l \rightarrow 0} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta_{l}(x) \mathrm{d} x=f(0)$性質的函數序列$\delta_l(x)$，或是具有$\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta_{n}(x) \mathrm{d} x=f(0)$性質的函數序列$\delta_n(x)$，他們的極限都是$\delta$函數。
比如：$\delta(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{\sqrt{\pi}} \mathrm{e}^{-n^{2} x^{2}}$
$\delta(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{\pi} \frac{1}{1+n^{2} x^{2}}$
$\delta(x)=\frac{\sin n x}{\pi x}$
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$\delta$函數的基本運算規則

1. $\delta$函數和常數c的乘積
   $\begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) c \delta(x) \mathrm{d} x &=\int_{-\infty}^{\infty} c f(x) \delta(x) \mathrm{d} x \\ &=c f(0) \end{aligned}$
2. 平移變換，$x \rightarrow x-a$：
   $\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta(x-a) \mathrm{d} x=\int_{-\infty}^{\infty} f(t+a) \delta(t) \mathrm{d} t=f(a)$
3. 放大或縮小，$x \rightarrow \alpha x$：
   $\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta(\alpha x) \mathrm{d} x=\int_{-\infty}^{\infty} f(t / \alpha) \delta(t) \frac{\mathrm{d} t}{|\alpha|}=\frac{1}{|\alpha|} f(0)$
   這意味着$\delta(\alpha x)=\frac{1}{|\alpha|} \delta(x)$
   特別是$\alpha=-1$時，$\delta(-x)=\delta(x)$
4. delta函數的導數：對於在x=0點連續並有連續導數的任意函數f(x),有
   $\begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta^{\prime}(x) \mathrm{d} x &=f(x) \delta\left.(x)\right|_{-\infty} ^{\infty}-\int_{-\infty}^{\infty} f^{\prime}(x) \delta(x) \mathrm{d} x \\ &=-f^{\prime}(0) \end{aligned}$
   這裏就把delta函數當作普通的連續函數一樣進行分部積分。
5. delta函數的高階導數：對於在x=0點連續並有n階連續導數的任意函數f(x),有
   $\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta^{(n)}(x) \mathrm{d} x=(-)^{n} f^{(n)}(0)$
6. delta函數與普通函數的乘積，$g(x) \delta(x)$：
   $\begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) g(x) \delta(x) \mathrm{d} x &=\int_{-\infty}^{\infty} f(x) g(x) \delta(x) \mathrm{d} x \\ &=f(0) g(0) \end{aligned}$
   即$f(x) \delta(x)=f(0) \delta(x)$
   例如 $x \delta(x)=0$

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Remarks
有關$\delta$函數的等式，均應從積分意義下去理解
對於$\delta$函數的運算，總是設法轉移到“普通函數f(x)”上去
例如，對於$x \delta(x)=0$就應該理解爲
$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) x \delta(x) \mathrm{d} x=0$

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Exercise（答案見課本P394）
1 計算積分$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin x}{x} \mathrm{d} x$
2 計算積分$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin 2 x}{x^{2}+x+1} d x$

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$\delta$函數按完備函數組展開

Fourier展開
設有周期函數$f(x)$,$f(x)=f(x+2 \pi)$,且滿足Dirichlet條件，則可以展開爲$f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n} \mathrm{e}^{\mathrm{i} n x}$
其展開係數爲$c_{n}=\frac{1}{2 \pi} \int_{\pi}^{\pi} f(x) \mathrm{e}^{-\mathrm{i} n x} \mathrm{d} x$
若將cn代回原級數，且交換積分與求和次序
$f(x)=\int_{-\pi}^{\pi} f(\xi)\left[\frac{1}{2 \pi} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \mathrm{e}^{\mathrm{i} n(x-\xi)}\right] \mathrm{d} \xi$
這表明
$\delta(\xi-x)=\frac{1}{2 \pi} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \mathrm{e}^{\mathrm{i} n(x-\xi)} \quad-\pi<x<\pi$

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常微分方程的Green函數
常微分方程的Green函數：初值問題
常微分方程的Green函數：邊值問題

EX19.4 求解常微分方程初值問題
$\frac{\mathrm{d}^{2} g}{\mathrm{d} x^{2}}=\delta(x-t) \quad x, t>0$
$\left.g\right|_{x=0}=0 \quad\left.\frac{\mathrm{d} g}{\mathrm{d} x}\right|_{x=0}=0$

解答：直接積分$\frac{\mathrm{d} g}{\mathrm{d} x}=\eta(x-t)+\alpha(t)$
再積分$g(x ; t)=(x-t) \eta(x-t)+\alpha(t) x+\beta(t)$
$\begin{array}{lll}{\left.g\right|_{x=0}=0} & {\Rightarrow \beta(t)=0} \\ {\left.\frac{\mathrm{d} g}{\mathrm{d} x}\right|_{x=0}=0} & {\Rightarrow \alpha(t)=0}\end{array}$
$g(x ; t)=(x-t) \eta(x-t)$
解析：題目的物理意義，$\frac{\mathrm{d}^{2} g}{\mathrm{d} x^{2}}$代表加速度，在質點所加的力，這個力旨在x=t這樣的時刻給了一個脈衝性的力，總量：積分後等於1.初始位置是0，加了力以後纔開始運動。

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有了EX19.4現在就可以求解EX19.5
EX19.5 常微分方程的初值問題
$\begin{array}{ll}{\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{d} x^{2}}=f(x)} & {x>0} \\ {y(0)=0} & {y^{\prime}(0)=0}\end{array}$

解答：因爲$f(x)=\int_{0}^{\infty} f(t) \delta(x-t) \mathrm{d} t$，所以根據現行常微分方程解的疊加性，有（形式）解
$y(x)=\int_{0}^{\infty} g(x ; t) f(t) \mathrm{d} t=\int_{0}^{x}(x-t) f(t) \mathrm{d} t$

未完待續10.4 - 15/64