PDE——delta函数

$\delta$函数

$\delta$函数，并不是通常意义下的函数：它并没有给出函数与自变量之间的对应关系。
它给出的对应关系在通常意义下是没有意义的
它所给出的“函数值”只是在积分运算中才有意义$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta(x) \mathrm{d} x=f(0)$

---

$\delta$函数也可以理解为（任意阶可微）函数序列的极限。
凡是具有$\lim _{l \rightarrow 0} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta_{l}(x) \mathrm{d} x=f(0)$性质的函数序列$\delta_l(x)$，或是具有$\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta_{n}(x) \mathrm{d} x=f(0)$性质的函数序列$\delta_n(x)$，他们的极限都是$\delta$函数。
比如：$\delta(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{\sqrt{\pi}} \mathrm{e}^{-n^{2} x^{2}}$
$\delta(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{\pi} \frac{1}{1+n^{2} x^{2}}$
$\delta(x)=\frac{\sin n x}{\pi x}$
------
$\delta$函数的基本运算规则

1. $\delta$函数和常数c的乘积
   $\begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) c \delta(x) \mathrm{d} x &=\int_{-\infty}^{\infty} c f(x) \delta(x) \mathrm{d} x \\ &=c f(0) \end{aligned}$
2. 平移变换，$x \rightarrow x-a$：
   $\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta(x-a) \mathrm{d} x=\int_{-\infty}^{\infty} f(t+a) \delta(t) \mathrm{d} t=f(a)$
3. 放大或缩小，$x \rightarrow \alpha x$：
   $\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta(\alpha x) \mathrm{d} x=\int_{-\infty}^{\infty} f(t / \alpha) \delta(t) \frac{\mathrm{d} t}{|\alpha|}=\frac{1}{|\alpha|} f(0)$
   这意味着$\delta(\alpha x)=\frac{1}{|\alpha|} \delta(x)$
   特别是$\alpha=-1$时，$\delta(-x)=\delta(x)$
4. delta函数的导数：对于在x=0点连续并有连续导数的任意函数f(x),有
   $\begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta^{\prime}(x) \mathrm{d} x &=f(x) \delta\left.(x)\right|_{-\infty} ^{\infty}-\int_{-\infty}^{\infty} f^{\prime}(x) \delta(x) \mathrm{d} x \\ &=-f^{\prime}(0) \end{aligned}$
   这里就把delta函数当作普通的连续函数一样进行分部积分。
5. delta函数的高阶导数：对于在x=0点连续并有n阶连续导数的任意函数f(x),有
   $\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta^{(n)}(x) \mathrm{d} x=(-)^{n} f^{(n)}(0)$
6. delta函数与普通函数的乘积，$g(x) \delta(x)$：
   $\begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) g(x) \delta(x) \mathrm{d} x &=\int_{-\infty}^{\infty} f(x) g(x) \delta(x) \mathrm{d} x \\ &=f(0) g(0) \end{aligned}$
   即$f(x) \delta(x)=f(0) \delta(x)$
   例如 $x \delta(x)=0$

---

Remarks
有关$\delta$函数的等式，均应从积分意义下去理解
对于$\delta$函数的运算，总是设法转移到“普通函数f(x)”上去
例如，对于$x \delta(x)=0$就应该理解为
$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) x \delta(x) \mathrm{d} x=0$

---

Exercise（答案见课本P394）
1 计算积分$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin x}{x} \mathrm{d} x$
2 计算积分$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin 2 x}{x^{2}+x+1} d x$

---

$\delta$函数按完备函数组展开

Fourier展开
设有周期函数$f(x)$,$f(x)=f(x+2 \pi)$,且满足Dirichlet条件，则可以展开为$f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n} \mathrm{e}^{\mathrm{i} n x}$
其展开系数为$c_{n}=\frac{1}{2 \pi} \int_{\pi}^{\pi} f(x) \mathrm{e}^{-\mathrm{i} n x} \mathrm{d} x$
若将cn代回原级数，且交换积分与求和次序
$f(x)=\int_{-\pi}^{\pi} f(\xi)\left[\frac{1}{2 \pi} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \mathrm{e}^{\mathrm{i} n(x-\xi)}\right] \mathrm{d} \xi$
这表明
$\delta(\xi-x)=\frac{1}{2 \pi} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \mathrm{e}^{\mathrm{i} n(x-\xi)} \quad-\pi<x<\pi$

---

常微分方程的Green函数
常微分方程的Green函数：初值问题
常微分方程的Green函数：边值问题

EX19.4 求解常微分方程初值问题
$\frac{\mathrm{d}^{2} g}{\mathrm{d} x^{2}}=\delta(x-t) \quad x, t>0$
$\left.g\right|_{x=0}=0 \quad\left.\frac{\mathrm{d} g}{\mathrm{d} x}\right|_{x=0}=0$

解答：直接积分$\frac{\mathrm{d} g}{\mathrm{d} x}=\eta(x-t)+\alpha(t)$
再积分$g(x ; t)=(x-t) \eta(x-t)+\alpha(t) x+\beta(t)$
$\begin{array}{lll}{\left.g\right|_{x=0}=0} & {\Rightarrow \beta(t)=0} \\ {\left.\frac{\mathrm{d} g}{\mathrm{d} x}\right|_{x=0}=0} & {\Rightarrow \alpha(t)=0}\end{array}$
$g(x ; t)=(x-t) \eta(x-t)$
解析：题目的物理意义，$\frac{\mathrm{d}^{2} g}{\mathrm{d} x^{2}}$代表加速度，在质点所加的力，这个力旨在x=t这样的时刻给了一个脉冲性的力，总量：积分后等于1.初始位置是0，加了力以后才开始运动。

---

有了EX19.4现在就可以求解EX19.5
EX19.5 常微分方程的初值问题
$\begin{array}{ll}{\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{d} x^{2}}=f(x)} & {x>0} \\ {y(0)=0} & {y^{\prime}(0)=0}\end{array}$

解答：因为$f(x)=\int_{0}^{\infty} f(t) \delta(x-t) \mathrm{d} t$，所以根据现行常微分方程解的叠加性，有（形式）解
$y(x)=\int_{0}^{\infty} g(x ; t) f(t) \mathrm{d} t=\int_{0}^{x}(x-t) f(t) \mathrm{d} t$

未完待续10.4 - 15/64