什么数可以被3整除——不只是各个位相加被3整除——由一道编程题引发的思考

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题目描述

小Q得到一个神奇的数列: 1, 12, 123,...12345678910,1234567891011...。

并且小Q对于能否被3整除这个性质很感兴趣。

小Q现在希望你能帮他计算一下从数列的第l个到第r个(包含端点)有多少个数可以被3整除。

输入描述:

输入包括两个整数l和r(1 <= l <= r <= 1e9), 表示要求解的区间两端。

输出描述:

输出一个整数, 表示区间内能被3整除的数字个数。

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题目的意思是，给出一个序列：1，12，123，1234，12345……即第i个数是在第i-1个数的末尾加上i。

一个数能否被3整除，其实在小学就有接触过：各个数位上的数字和能被3整除，那么这个数能被3整除。

喵哥在做这道题的时候想过把一个数字的每一位加起来，然后看结果是否可以被3整除。但是，发现这样做很麻烦，而且会超出时间限制。然后，喵哥开始在纸上写写画画，发现一个秘密：

对于一个整数，从其中取出连续的子数，把这些子数相加，如果得到的结果可以被3整除，那么这个数就可以被3整除。

例如：

777

77+7=84

证明如下：

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假设有一个4位数abcd，其中ab+cd可以被3整除，证明abcd可以被3整除。

必然被3整除，而ab+cd被3整除是条件，所以abcd可以被3整除。

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回到题目中去，现在只要把1到 l 的数相加就可以得到第 l 个数。对于从 l 到 r 的数，每次累加一个对应的数字，然后判断是否可以被3整除即可。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

long long getBaseNum(long long end){
    return (1+end)*end/2;
}

int main(){
    long long  l, r;
    cin >> l >> r;
    long long baseNum = getBaseNum(l);
    long long count = 0;
    for(int i = l + 1; i <= r + 1; i++){
        if(baseNum % 3 == 0)
            count++;
        baseNum += i;
    }
    cout << count;
    return 0;
}

其实，这样的解题思路还是不够好，对于很极端的例子，运行时间还是蛮长的。仔细观察会发现，这个序列可以被3整除的位置是有规律的：

数字	1	12	123	1234	12345	123456	1234567	12345678	123456789
余数	1	0	0	1	0	0	1	0	0

可以发现：每3个数中有一个是不可以被3整除的，只要用r - l +1减去不可以整除数字的数量，就可以得到被3整除的数量。

对于i，前i个数字有个数字是不可以被3整除的。

这样计算就更快了。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main(){
    int l,r;
    cin >> l >> r;
    cout << (r - l + 1 - ((r + 2) / 3 - (l - 1 + 2) / 3));
    return 0;
}

 

其他的一些数字的整除特征可以参考：能被2、3、4、5、6、7、8、9等数整除的数的特征